|
Feladat: |
F.2973 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arató Gabriella , Dienes Péter , Duzmath Zsolt , Galácz Ábel , Gergely Levente , Gyarmati Katalin , Halasi Zoltán , Izsák Ferenc , Jeszenszky Éva , Józsa Balázs Gábor , Király Csaba , Király Tamás , Koblinger Egmont , Lestyán Zsolt , Maróti Attila , Maróti Gábor , Nagy Vilmos , Németh Ákos , Németh Zoltán , Ódor Lajos , Perényi Márton , Rákóczi Bálint , Sánta Zsuzsa , Séllei Béla , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szeredi Pál , Szeredi Tibor , Újváry-Menyhárt Mónika |
Füzet: |
1994/április,
202 - 204. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengelyes tükrözés, Körülírt kör, Magasságpont, Terület, felszín, Húrsokszögek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1993/szeptember: F.2973 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ismeretes, hogy a háromszög magasságpontjának az oldalegyenesekre vonatkozó tükörképei a körülírt körön vannak. Ezért a feladatban szereplő konvex hatszög húrhatszög. Könnyen beláthatjuk, hogy ha a háromszög hegyesszögű, akkor a tükrözések után létrejövő húrhatszög területe éppen kétszerese a háromszög területének. Ha a háromszög derékszögű, akkor magasságpontja a derékszögű csúcs, amelynek a befogókra való tükörképe önmaga, tehát a feladatban említett hatszög nem jön létre. Ezért az eredeti háromszög tompaszögű. Legyenek ennek csúcsai magasságpontja . Tegyük fel először, hogy -nek a tompaszöget bezáró oldalakra vonatkozó , illetve tükörképe az , illetve szakasz belső pontja (1. ábra). Világos, hogy az magasságpontja , és ezért ez a háromszög hegyesszögű. A most vizsgált esetben a tükrözések után kapott hatszög: , és előbbi megállapításunk szerint hegyesszög, ezért a hatszög -os szöge -nál van. A szögek sorrendjéből azt is látjuk, hogy és -nél vannak a -os szögek. Az húrnégyszögből , azaz a háromszög egyenlő szárú. De akkor a háromszög ─ és vele együtt a hatszög is ─ szimmetrikus az egyenesre. A hatszög azonban, tekintve, hogy az és -nél lévő szögei különbözőek, nem szimmetrikus -re, így ilyen megoldás nincs. Másodszorra nézzük azt az esetet, amikor és az -nak -n túli, illetve -nek -n túli meghosszabbításán van (2. ábra). A hatszög csúcsai most 1. ábra 2. ábra sorrendben következnek. Az ábra jelölései szerint , ezért a hatszögben Hasonlóan kapjuk, hogy Ilyen hatszögben az és csúcsnál vannak egyenlő szögek, ezek a szögek nagyságúak, amiért , és így . Ez valóban megoldás, mert az körbe írt töröttvonal kiegészíthető a kívánt hatszöggé. Tükrözzük ugyanis -t -re, a tükörkép legyen . Messe a kört -ban. Az húrnégyszögből , ezért esetén ez a szög , és ugyanígy az -nél lévő szög . Ezután az -nál lévő szög kiszámítható, ez lesz. Mivel -nek az -re vonatkozó tükörképe a szakasz belső pontja, a hatszög területe nagyobb lesz, mint a háromszög területének kétszerese. Már csak az az eset van hátra, amikor az belső pontja, pedig meghosszabbításán van, vagy fordítva. ( vagy nem eshet egybe -val vagy -vel, mert akkor nem jönne létre a hatszög.) Ekkor az , tehát tompaszög, és így az húrnégyszögben -nál hegyesszög van (3. ábra). Ez a szög tehát a hatszög -os szöge, és a feltételek szerint Az húrnégyszögből , amiért , és ez ellentmondás, mert a hatszögnek nincsen -os szöge. Ilyen ponthatos nem felelhet meg adatainknak. A feladat kérdésére tehát azt válaszolhatjuk, hogy a háromszög legnagyobb szöge . 3. ábra
Koblinger Egmont (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján |
|
|