Feladat: F.2955 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Dienes Péter ,  Fábián László ,  Németh Ákos 
Füzet: 1993/december, 507. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térbeli ponthalmazok távolsága, Kombinatorikus geometria térben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/március: F.2955

Adott a térben négy nem egy síkban fekvő pont. Hány olyan sík van, amelytől mind a négy pont egyenlő távol van?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen S olyan sík, amelytől az adott pontok egyenlő távoságra vannak. A négy pont egyike sem illeszkedhet S-re, és nem lehetnek S ugyanazon az oldalán, hiszen akkor egy síkban lennének. Ezért S két oldalán 1, illetve 3, vagy 2‐2 pont lesz.
Ha a négy pont közül kiválasztunk hármat, pontosan egy olyan sík lesz, amely ezt a hármat a negyediktől elválasztja, és a négy ponttól egyenlő távolságra van. Ez az a sík, amelyik párhuzamos a kiválasztott három pont meghatározta síkkal, és felezi a negyedik pontnak ez utóbbi síktól való távolságát. Mivel a négy pont közül négyféleképpen választhatunk ki hármat, 4 ilyen sík lesz.
Válasszunk ki ezután a négy pontból kettőt. Ez a kettő és a másik kettő a feltétel szerint kitérő egyeneseket határoznak meg, amelyek egyértelműen egymással párhuzamos síkokba foglalhatók. Pontosan egy olyan sík lesz, éspedig a párhuzamos síkok középpárhuzamos síkja, amely mind a négy ponttól egyenlő távol van. Ilyen síkot 12(42)=3 - féleképpen találhatunk.
Tehát a feladat feltételeinek 7 sík felel meg.

 

 Fábián László (Dobóvár, Illyés Gy. Gimn. III. o. t.) dolgozata alapján