Kezdőlap


Feladat:	F.2944	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csergőffy Tibor , Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Marx Gábor , Róka Dániel
Füzet:	1994/április, 196. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/február: F.2944

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy $x_{2} > x_{1}$ .
A bizonyítás során két esetet vizsgálunk.

I. eset: $x_{2} - x_{1} \leq \frac{1}{2}$ . Ekkor a feltétel szerint

\begin{matrix} | f (x_{2}) - f (x_{1}) | < | x_{2} - x_{1} | \leq \frac{1}{2} \end{matrix}

II. eset:

x_{2} - x_{1} > \frac{1}{2}

. Alkalmazzuk a feltételt az

(x_{1},0)

és

(1, x_{2})

számpárokra:

\begin{matrix} \begin{matrix} | f (0) - f (x_{1}) | & \leq | 0 - x_{1} | = x_{1}; \\ | f (x_{2}) - f (1) | & \leq | x_{2} - 1 | = 1 - x_{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Ismeretes, hogy tetszőleges

a, b

valós számokra

| a + b | \leq | a | + | b |

. Írjunk

a

helyére

(f (0) - f (x_{1}))

-et,

b

helyére

(f (x_{2}) - f (1))

-et:

\begin{matrix} | (f (0) - f (x_{1})) + (f (x_{2}) - f (1)) | \leq \\ \leq | f (0) - f (x_{1}) | + | f (x_{2}) - f (1) | \leq x_{1} + (1 - x_{2}) = 1 - (x_{2} - x_{1}) < 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Mivel

f (0) = f (1)

, a bal oldalon

\begin{matrix} | (f (x_{2}) - f (x_{1})) + (f (0) - f (1)) | = | f (x_{2}) - f (x_{1}) | \end{matrix}

áll, azaz

\begin{matrix} | f (x_{2}) - f (x_{1}) | < \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ezzel minden esetet megvizsgáltunk és az állítást igazoltuk.