Kezdőlap


Feladat:	F.2937	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Futó Gábor , György András , K. L. , Kóczy László , Németh Ákos , Pete Gábor
Füzet:	1993/május, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos testek, Szerkesztések a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/december: F.2937

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az oktaéder egyik lapja sem illeszkedik az $O$ pontra, és egyik lapja sem párhuzamos $t$ -vel, föltehetjük, hogy $A B$ nem megy át $O$ -n és nem párhuzamos $t$ -vel. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az oktaédernek a $t$ tengelyre nem illeszkedő csúcsait tartalmazó síkot jelöljük $S$ -sel. Legyen pl. a $B$ pont vetülete $S$ -en $B'$ , ugyancsak a $B$ pont vetülete a $C D$ élen $B_{1}$ , az oktaéder éle $a$ , és használjuk az ábrák további jelöléseit is.

G F O ∢ = α

megszerkeszthető, ugyanis

cos α = \frac{O F}{G F} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt[]{3}}{2}} = \frac{\sqrt[]{3}}{3}

. Ha

A B

nem párhuzamos

C D

-vel, akkor

A B

metszi az

S

síkot egy

M

pontban. Ez a pont illeszkedik a

C D

élre, és

B' M \geq B' B_{1}

. Ezért a

B B'

közös befogójú

B B' M

és

B B' B_{1}

derékszögű háromszögek összehasonlításából

B M B' ∢ ⩽ α

. A

B'

pont megszerkeszthető, az

α

szög szintén, ezért megszerkeszthető a

B B' B_{1}

háromszög, és így ismerjük a

B' B_{1}

szakaszt. Ezért a

C D

él egyenesét úgy kaphatjuk meg, hogy az

M

pontból érintőt húzunk a

B'

középpontú

B' B_{1}

sugarú körhöz.
Ezután a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el:
A

t

egyenesre az

O

ponton átmenő merőleges síkot szerkesztünk, ez az

S

sík. Nézzük először azt az esetet, amikor

A B

metszi az

S

síkot. Ekkor

A

és

B

közül legalább az egyik nem illeszkedik

S

-re, legyen ez a

B

. Megszerkesztjük

B

S

-re eső vetületét, majd

α

és

B B'

segítségével a

B' B

szakaszt. Az

S

síkban a

B' B

sugarú és

B'

középpontú körhöz

M

-ből húzott érintők megadják a

C D

él egyenesét. Ennek az egyenesnek

O

-tól való távolsága

\frac{a}{2}

, és ezután az

a

oktaéderél birtokában a szerkesztés befejezhető.
Ha

B' M > B' B_{1}

‐ ekkor, mint fentebb megállapítottuk,

B M B' ∢ < α -

két megoldás lesz, feltéve, hogy egyik érintő se megy át az

O

ponton. Ha

B' M = B' B_{1}

, amikor is

M

azonos

B_{1}

-gyel, egy megoldás lesz, feltéve, hogy a

B'

középpontú

B' B_{1}

sugarú kör

B_{1}

pontbeli érintője nem megy át az

O

ponton, ha átmegy, akkor nincs megoldás.
Ha

A B ∥ S

, akkor ismerjük

C D

irányát, és a

C D

egyenest megkapjuk, ha a

B'

középpontú

B' B_{1}

sugarú körhöz

A B

-vel párhuzamos érintőket húzunk. Most is két megoldás lesz, ha

O

nem illeszkedik egyik érintőre sem, kivéve még azt az esetet, ha

O

rajta van a két érintő középpárhuzamosán, amikor is a két megoldás egybeesik. Ez akkor fordul elő, ha

A B

metszi a

t

egyenest.
Végül, ha

A B

illeszkedik

S

-re, akkor

A B

egyúttal a

C D

egyenes is, és egy megoldás lesz.

Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján