A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel az oktaéder egyik lapja sem illeszkedik az pontra, és egyik lapja sem párhuzamos -vel, föltehetjük, hogy nem megy át -n és nem párhuzamos -vel. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az oktaédernek a tengelyre nem illeszkedő csúcsait tartalmazó síkot jelöljük -sel. Legyen pl. a pont vetülete -en , ugyancsak a pont vetülete a élen , az oktaéder éle , és használjuk az ábrák további jelöléseit is.
A megszerkeszthető, ugyanis . Ha nem párhuzamos -vel, akkor metszi az síkot egy pontban. Ez a pont illeszkedik a élre, és . Ezért a közös befogójú és derékszögű háromszögek összehasonlításából . A pont megszerkeszthető, az szög szintén, ezért megszerkeszthető a háromszög, és így ismerjük a szakaszt. Ezért a él egyenesét úgy kaphatjuk meg, hogy az pontból érintőt húzunk a középpontú sugarú körhöz. Ezután a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el: A egyenesre az ponton átmenő merőleges síkot szerkesztünk, ez az sík. Nézzük először azt az esetet, amikor metszi az síkot. Ekkor és közül legalább az egyik nem illeszkedik -re, legyen ez a . Megszerkesztjük -re eső vetületét, majd és segítségével a szakaszt. Az síkban a sugarú és középpontú körhöz -ből húzott érintők megadják a él egyenesét. Ennek az egyenesnek -tól való távolsága , és ezután az oktaéderél birtokában a szerkesztés befejezhető. Ha ‐ ekkor, mint fentebb megállapítottuk, két megoldás lesz, feltéve, hogy egyik érintő se megy át az ponton. Ha , amikor is azonos -gyel, egy megoldás lesz, feltéve, hogy a középpontú sugarú kör pontbeli érintője nem megy át az ponton, ha átmegy, akkor nincs megoldás. Ha , akkor ismerjük irányát, és a egyenest megkapjuk, ha a középpontú sugarú körhöz -vel párhuzamos érintőket húzunk. Most is két megoldás lesz, ha nem illeszkedik egyik érintőre sem, kivéve még azt az esetet, ha rajta van a két érintő középpárhuzamosán, amikor is a két megoldás egybeesik. Ez akkor fordul elő, ha metszi a egyenest. Végül, ha illeszkedik -re, akkor egyúttal a egyenes is, és egy megoldás lesz.
Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján |
|