Feladat: F.2937 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Futó Gábor ,  György András ,  K. L. ,  Kóczy László ,  Németh Ákos ,  Pete Gábor 
Füzet: 1993/május, 210 - 211. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szabályos testek, Szerkesztések a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/december: F.2937

Adva van a t egyenes, rajta az O pont és további két pont a térben: A és B. Szerkesszünk olyan szabályos oktaédert, amelynek középpontja O, két szemközti csúcsa illeszkedik t-re, továbbá A és B az oktaéder egyik lapjának síkján van*.
*Megjegyzést l. 459. oldalon.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az oktaéder egyik lapja sem illeszkedik az O pontra, és egyik lapja sem párhuzamos t-vel, föltehetjük, hogy AB nem megy át O-n és nem párhuzamos t-vel. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az oktaédernek a t tengelyre nem illeszkedő csúcsait tartalmazó síkot jelöljük S-sel. Legyen pl. a B pont vetülete S-en B', ugyancsak a B pont vetülete a CD élen B1, az oktaéder éle a, és használjuk az ábrák további jelöléseit is.

 
 

 
 

A GFO=α megszerkeszthető, ugyanis cosα=OFGF=a2a32=33. Ha AB nem párhuzamos CD-vel, akkor AB metszi az S síkot egy M pontban. Ez a pont illeszkedik a CD élre, és B'MB'B1. Ezért a BB' közös befogójú BB'M és BB'B1 derékszögű háromszögek összehasonlításából BMB'α. A B' pont megszerkeszthető, az α szög szintén, ezért megszerkeszthető a BB'B1 háromszög, és így ismerjük a B'B1 szakaszt. Ezért a CD él egyenesét úgy kaphatjuk meg, hogy az M pontból érintőt húzunk a B' középpontú B'B1 sugarú körhöz.
Ezután a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el:
A t egyenesre az O ponton átmenő merőleges síkot szerkesztünk, ez az S sík. Nézzük először azt az esetet, amikor AB metszi az S síkot. Ekkor A és B közül legalább az egyik nem illeszkedik S-re, legyen ez a B. Megszerkesztjük B S-re eső vetületét, majd α és BB' segítségével a B'B szakaszt. Az S síkban a B'B sugarú és B' középpontú körhöz M-ből húzott érintők megadják a CD él egyenesét. Ennek az egyenesnek O-tól való távolsága a2, és ezután az a oktaéderél birtokában a szerkesztés befejezhető.
Ha B'M>B'B1 ‐ ekkor, mint fentebb megállapítottuk, BMB'<α- két megoldás lesz, feltéve, hogy egyik érintő se megy át az O ponton. Ha B'M=B'B1, amikor is M azonos B1-gyel, egy megoldás lesz, feltéve, hogy a B' középpontú B'B1 sugarú kör B1 pontbeli érintője nem megy át az O ponton, ha átmegy, akkor nincs megoldás.
Ha ABS, akkor ismerjük CD irányát, és a CD egyenest megkapjuk, ha a B' középpontú B'B1 sugarú körhöz AB-vel párhuzamos érintőket húzunk. Most is két megoldás lesz, ha O nem illeszkedik egyik érintőre sem, kivéve még azt az esetet, ha O rajta van a két érintő középpárhuzamosán, amikor is a két megoldás egybeesik. Ez akkor fordul elő, ha AB metszi a t egyenest.
Végül, ha AB illeszkedik S-re, akkor AB egyúttal a CD egyenes is, és egy megoldás lesz.
 

 Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján