Feladat: F.2936 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bajszi István ,  Csergőffy Tibor ,  Csermely Zoltán ,  Csikai Szabolcs ,  Csörnyei Marianna ,  Diószeghy Zoltán ,  Dőtsch András ,  Égi József ,  Futó Gábor ,  Gyarmati Katalin ,  György András ,  Horváth Gábor ,  Hüber Erik ,  K. L. ,  Kálmán Tamás ,  Kóczy László ,  Kórász Árpád ,  Kovács Szabolcs ,  Kucsera Henrik ,  Markót Mihály ,  Maróti Attila ,  Maróti Gábor ,  Marx Gábor ,  Mosonyi Milán ,  Nagy Anett ,  Németh Ákos ,  Pete Gábor ,  Rákóczi Bálint ,  Réti Géza ,  Róka Dániel ,  Rónai András ,  Szeredi Tibor ,  Tichler Krisztián ,  Tóth Zoltán ,  Zsenei András 
Füzet: 1993/május, 209. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Trapézok, Thalesz-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/december: F.2936

Az ABCD trapéz AC és BD átlója merőleges egymásra, metszéspontjuknak az AB és CD alapokkal párhuzamos középvonalra vonatkozó tükörképe Q. Bizonyítsuk be, hogy az ABQ háromszög körülírt köre érinti a CDQ háromszög körülírt körét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az átlók metszéspontja P, az AD, illetve BC felezőpontja pedig M, illetve N.

 
 

A P pont illeszkedik AD Thalész körére, és ‐ mivel a tükrözés folytán MP=MQ ‐ a Q pont is rajta van AD Thalész körén. Ezért AQPD húrnégyszög, így az ábrán x-szel jelölt szögek egyenlők. Jelöljük az ABQ háromszög köré írt körnek egyik, QB ívéhez tartozó kerületi szöget α-val, a CDQ köré írt kör QC ívéhez tartozó kerületi szöget pedig β-val az ábra szerint. Az ABP derékszögű háromszögből PAB+PBA=90, és mivel váltószögek, PBA=PDC=β-x. Így α+β=α+x+β-x=90.
Minthogy BQPC is húrnégyszög, BQC=90, tehát BQC=α+β. Ezért az ábrán e-vel jelölt egyenes az ABQΔ köré írt körének és a CDQΔ köré írt körének is érintője.Tehát e a két kör közös érintője, ezért a két körülírt kör a Q pontban érinti egymást.
 

Róka Dániel (Bp., Szent István Gimn., IV. o. t.)