Kezdőlap


Feladat:	F.2931	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Hollósi Szabolcs , K. L. , Marx Gábor , Matuszka Kristóf
Füzet:	1993/április, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Kocka, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/november: F.2931

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kocka éle $a$ , a feladatban említett belső pont $M$ , és válasszuk meg úgy a csúcsok jelölését, hogy $M A = \sqrt[]{50}, M B = \sqrt[]{70}, M C = \sqrt[]{90}, M D = \sqrt[]{110}$ legyen. Jelölje pl. az $A$ csúcsot tartalmazó három lapnak és az $M$ pontnak a távolságát $x, y, z$ az ábra szerint.

A Pitagorasz-tétel alapján

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 50, \\ {(a - x)}^{2} + {(a - y)}^{2} + z^{2} = 70, \\ {(a - x)}^{2} + y^{2} + {(a - z)}^{2} = 90, \\ x^{2} + {(a - y)}^{2} + {(a - z)}^{2} = 110. \end{matrix} \end{matrix}

A második, harmadik és negyedik egyenletben a négyzetreemeléseket elvégezve,

x^{2} + y^{2} + z^{2}

helyett

50

-et írva:

\begin{matrix} 2 a (x + y) = 2 a^{2} - 20, \\ 2 a (x + z) = 2 a^{2} - 40, \\ 2 a (y + z) = 2 a^{2} - 60. \end{matrix}

Ebből az egyenletrenszerből

x = \frac{a}{2}, y = \frac{a}{2} - \frac{10}{a}, z = \frac{a}{2} - \frac{20}{a}

. Ezeket az első egyenletbe helyettesítve:

\begin{matrix} {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2} - \frac{20}{a})}^{2} + {(\frac{a}{2} - \frac{10}{a})}^{2} = 50, \end{matrix}

amiből a

\begin{matrix} \frac{3 a^{2}}{4} - 80 + \frac{500}{a^{2}} = 0, \end{matrix}

majd

t = \frac{a^{2}}{4}

jelöléssel a

\begin{matrix} 3 t^{2} - 80 t + 125 = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Ennek gyökei

t = 25

és

t = \frac{5}{3}

, így

a = 10

, vagy

α = \sqrt[]{\frac{20}{3}}

. A második esetben

y < 0

miatt

M

nem lehetne belső pont, ezért a feladat egyetlen megoldása:

a = 10

egység.

Matuszka Kristóf (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján