Feladat: F.2931 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Hollósi Szabolcs ,  K. L. ,  Marx Gábor ,  Matuszka Kristóf 
Füzet: 1993/április, 165 - 166. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Kocka, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/november: F.2931

Válasszunk ki egy kockán négy olyan csúcsot, amelyek közül semelyik kettő sincs ugyanazon az élen. A kocka egy belső pontjának a négy csúcstól mért távolsága 50, 70, 90 és 110. Mekkora a kocka éle?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kocka éle a, a feladatban említett belső pont M, és válasszuk meg úgy a csúcsok jelölését, hogy MA=50,MB=70,MC=90,MD=110 legyen. Jelölje pl. az A csúcsot tartalmazó három lapnak és az M pontnak a távolságát x,y,z az ábra szerint.

 
 

A Pitagorasz-tétel alapján
x2+y2+z2=50,(a-x)2+(a-y)2+z2=70,(a-x)2+y2+(a-z)2=90,x2+(a-y)2+(a-z)2=110.
A második, harmadik és negyedik egyenletben a négyzetreemeléseket elvégezve, x2+y2+z2 helyett 50-et írva:

2a(x+y)=2a2-20,2a(x+z)=2a2-40,2a(y+z)=2a2-60.



Ebből az egyenletrenszerből x=a2,y=a2-10a,z=a2-20a. Ezeket az első egyenletbe helyettesítve:
(a2)2+(a2-20a)2+(a2-10a)2=50,
amiből a
3a24-80+500a2=0,
majd t=a24 jelöléssel a
3t2-80t+125=0
egyenletet kapjuk. Ennek gyökei t=25 és t=53, így a=10, vagy α=203. A második esetben y<0 miatt M nem lehetne belső pont, ezért a feladat egyetlen megoldása: a=10 egység.
 

 Matuszka Kristóf (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 dolgozata alapján