Feladat: F.2924 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Adorján Richárd ,  Csergőffy Tibor ,  Csörnyei Marianna ,  Diószeghy Zoltán ,  Dőtsch András ,  Futó Gábor ,  Gyarmati Katalin ,  György András ,  Hollósi Szabolcs ,  Katz Sándor ,  Kóczy László ,  Kórász Árpád ,  Kucsera Henrik ,  Lengyel Csaba ,  Maróti Attila ,  Maróti Gábor ,  Marx Gábor ,  Megyesi Zoltán ,  Németh Ákos ,  Pete Gábor ,  Tichler Krisztián ,  Tóth Zoltán 
Füzet: 1993/április, 160 - 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/október: F.2924

Tekintsük mindazokat a téglalapokat, amelyeknek mindegyik oldala érint egy adott ellipszist. Melyik téglalapnak a legnagyobb, és melyiknek a legkisebb a kerülete?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ellipszis egyenlete x2a2+y2b2=1, egy ilyen téglalap egyik csúcsa P(u;v). Először megmutatjuk, hogy a P pontok egy a2+b2 sugarú körön helyezkednek el. A P ponton átmenő m iránytangensű egyenes és az ellipszis közös pontjainak koordinátáit az

y=m(x-u)+vx2a2+y2b2=1
egyenletrendszer megoldásai adják:
b2x2+a2(mx-mu+v)2=a2b2,
azaz
(b2+a2m2)x2+2a2m(v-mu)x+(a2m2u2+a2v2-2a2muv-a2b2)=0.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

Az egyenes akkor lesz érintő, ha ennek az (x-ben másodfokú) egyenletnek a diszkriminánsa zérus, azaz:

0=[2a2m(v-mu)]2-4(b2+a2m2)(a2m2u2+a2v2-2a2muv-a2b2)==4a2b2[(a2-u2)m2+2uvm+b2-v2].


Ennek az (m-re másodfokú) egyenletnek a gyökei a P pontból húzható érintők iránytangesei. Mivel ezek az érintők merőlegesek, a gyökök szorzata -1 lesz, tehát b2-v2a2-u2=-1 (ha a2u2) vagyis u2+v2=a2+b2, amely már a2=u2 esetén is érvényes. Ez azt jelenti, hogy az érintő téglalap csúcsai rajta vannak az x2+y2=a2+b2 egyenletű körön.
Most már csak ki kell választanunk az ebbe a körbe írt téglalapok közül az ellipszist érintő legnagyobb és legkisebb kerületűt. Jelöljük két, a körbe írt téglalap oldalait az 2. ábra szerint, ahol ,,a'' a legkisebb oldal, továbbá a<c és bd. Nyilván (2r)2=a2+c2=b2+d2, és így c2-d2=b2-a2, azaz c-d=b+ac+d(b-a); tehát a feltételek szerint c-d<b-a. Így 2(a+c)<2(b+d), tehát annak a téglalapnak a kerülete a kisebb, amelyiknek kisebb a rövidebbik oldala. Mivel az ellipszis köré írt téglalapnak a kistengelynél kisebb oldala nem lehet, azért az a téglalap lesz a legkisebb kerületű, amelynek egyik oldala a kistengely, tehát oldalai párhuzamosak az ellipszis szimmetriatengelyeivel. A legnagyobb pedig akkor lesz a kerület, ha a téglalap négyzet, tehát ha a csúcsai az ellipszis szimmetriatengelyein helyezkednek el.
 

Tichler Krisztián (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján