|
Feladat: |
F.2923 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Csörnyei Marianna , Dienes Péter , Dőtsch András , Futó Gábor , Gyarmati Katalin , Horváth Gábor , Király Tamás , Kis Gábor , Kóczy László , Maróti Attila , Megyesi Zoltán , Mile István , Németh Ákos , Pete Gábor , Valkó Benedek |
Füzet: |
1993/április,
159 - 160. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Euler-formula, Gráfelmélet, Indirekt bizonyítási mód, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/október: F.2923 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tegyük fel, hogy a pontok összekötése egymást nem keresztező szakaszokkal megtörtént. A kapott alakzatot úgy tekinthetjük, mint egy csupa háromszöglap határolta egyszerű poliédernek egyik lapjára való merőleges vetületét. Erre a poliéderre alkalmazható Euler tétele, amely szerint ahol a csúcsok, a lapok, pedig az élek száma. Tegyük fel a feladat állításával ellentétben, hogy minden csúcsból legalább él indul ki. Mivel minden él két csúcsot köt össze, , azaz Tudjuk továbbá, hogy minden lap háromszög és egy-egy él két laphoz tartozik (feltéve, hogy nincs olyan él, amelynek valamely belső pontja is csúcs); ekkor , amiből (2) és (3) alapján (1)-ből azt kapjuk, hogy , azaz , ami ellentmondás. Ezért nem lehetséges, hogy minden csúcsból legalább él induljon ki, tehát igaz a feladat állítása.
Hátra van még az az eset, amikor van olyan él, amelynek egy belső pontja is csúcs. Ilyen esetet tüntet fel az ábra. Húzzuk meg ekkor az élt is, illetve az -hez hasonló szerepű éleket. Ezután alkalmazható az előbbi gondolatmenet, és most is következik a feladat állítása. |
|