Kezdőlap


Feladat:	F.2915	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Áldos Péter , Bodnár Katalin , Csermely Zoltán , Csikai Szabolcs , Dienes Péter , Diószeghy Zoltán , Dőtsch András , Győrffy Werner , György András , Herman Tímea , Horváth Gábor , Imreh Csanád , Ivánka Gábor , Kasza Tamás , Kis Gábor , Kuba András , Kucsera Henrik , Kumli Tamás , Markót Mihály , Megyesi Zoltán , Németh Ákos , Pete Gábor , Rákóczi Bálint , Réti Géza , Szabó László , Szergyiczki Róbert , Szőllősi Attila , Tóth László , Valkó Benedek , Vörös Zoltán
Füzet:	1993/február, 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: F.2915

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy a jobb oldal értelmes legyen, ki kell kötnünk, hogy $x + y - z \geq 0$ . Legyen $p = \sqrt[]{x + y - z}$ ; ekkor $z$ helyére $(x + y - p^{2})$ -et írva az egyenlet a következőképpen alakul:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} = x + y - p^{2} + p . \end{matrix}

Rendezzünk minden tagot a bal oldalra és alakítsunk teljes négyzetek összegévé:

\begin{matrix} x^{2} - x + y^{2} - y + p^{2} - p + \frac{3}{4} = 0; \end{matrix}

\begin{matrix} {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} + {(p - \frac{1}{2})}^{2} = 0. \end{matrix}

Három nemnegatív valós szám összege pontosan akkor

0

, ha mindhárom tag

0

, azaz

\begin{matrix} x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2} és p = \frac{1}{2}; \end{matrix}

és így

\begin{matrix} z = x + y - p^{2} = \frac{3}{4} . \end{matrix}