Feladat: F.2915 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Áldos Péter ,  Bodnár Katalin ,  Csermely Zoltán ,  Csikai Szabolcs ,  Dienes Péter ,  Diószeghy Zoltán ,  Dőtsch András ,  Győrffy Werner ,  György András ,  Herman Tímea ,  Horváth Gábor ,  Imreh Csanád ,  Ivánka Gábor ,  Kasza Tamás ,  Kis Gábor ,  Kuba András ,  Kucsera Henrik ,  Kumli Tamás ,  Markót Mihály ,  Megyesi Zoltán ,  Németh Ákos ,  Pete Gábor ,  Rákóczi Bálint ,  Réti Géza ,  Szabó László ,  Szergyiczki Róbert ,  Szőllősi Attila ,  Tóth László ,  Valkó Benedek ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1993/február, 65. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/szeptember: F.2915

Mely x,y,z valós számokra teljesül az
x2+y2+34=z+x+y-z
egyenlőség?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy a jobb oldal értelmes legyen, ki kell kötnünk, hogy x+y-z0. Legyen p=x+y-z; ekkor z helyére (x+y-p2)-et írva az egyenlet a következőképpen alakul:

x2+y2+34=x+y-p2+p.
Rendezzünk minden tagot a bal oldalra és alakítsunk teljes négyzetek összegévé:
x2-x+y2-y+p2-p+34=0;
(x-12)2+(y-12)2+(p-12)2=0.
Három nemnegatív valós szám összege pontosan akkor 0, ha mindhárom tag 0, azaz
x=12,y=12  és  p=12;
és így
z=x+y-p2=34.