Kezdőlap

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a lapok, élek és csúcsok számát sorra $l$ , $e$ és $c$ -vel. Mivel a poliéder konvex, teljesül rá az Euler-tétel:

\begin{matrix} l + c = e + 2 . \end{matrix}

(1)

A másik feltétel szerint

l > c

, ezért létezik olyan

k

pozitív egész, amellyel

\begin{matrix} l = c + k . \end{matrix}

(2)

Megmutatjuk, hogy a poliéder lapjai között legalább

6

háromszög van. Legyen a lapok között

m

darab háromszög és

n

háromnál több oldalú lap.
Ezzel a jelöléssel

\begin{matrix} l = m + n . \end{matrix}

(3)

Mivel minden él két laphoz tartozik, a test éleinek száma legalább

\frac{3 m + 4 n}{2}

, azaz

\begin{matrix} e ⩾ \frac{3 m + 4 n}{2} . \end{matrix}

(4)

A (2) összefüggésből

c

értékét (1)-be helyettesítve:

2 l - k = e + 2

, innen (3) és (4) alapján:

2 (m + n) - k ⩾ \frac{3 m + 4 n}{2} + 2

. Ebből

m ⩾ 4 + 2 k

, ami azt mutatja, hogy a háromszög alakú lapok száma legalább

6

. Az állítás nem élesíthető, ugyanis ha két egybevágó szabályos tetraédert egy lapjuk mentén összeragasztunk, akkor

m = l = 6

és

c = 5 < l

, tehát az

m = 6

eset meg is valósul.