Feladat: F.2913 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1993/február, 64 - 65. oldal  PDF file
Témakör(ök): Euler-formula, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/május: F.2913

Egy konvex poliédernek több lapja van, mint csúcsa. Legalább hány háromszög van a lapok között?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a lapok, élek és csúcsok számát sorra l, e és c-vel. Mivel a poliéder konvex, teljesül rá az Euler-tétel:

l+c=e+2.(1)
A másik feltétel szerint l>c, ezért létezik olyan k pozitív egész, amellyel
l=c+k.(2)
Megmutatjuk, hogy a poliéder lapjai között legalább 6 háromszög van. Legyen a lapok között m darab háromszög és n háromnál több oldalú lap.
Ezzel a jelöléssel
l=m+n.(3)
Mivel minden él két laphoz tartozik, a test éleinek száma legalább 3m+4n2, azaz
e3m+4n2.(4)
A (2) összefüggésből c értékét (1)-be helyettesítve: 2l-k=e+2, innen (3) és (4) alapján: 2(m+n)-k3m+4n2+2. Ebből m4+2k, ami azt mutatja, hogy a háromszög alakú lapok száma legalább 6. Az állítás nem élesíthető, ugyanis ha két egybevágó szabályos tetraédert egy lapjuk mentén összeragasztunk, akkor m=l=6 és c=5<l, tehát az m=6 eset meg is valósul.