Kezdőlap


Feladat:	F.2912	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Kálmán Tamás , Lente Gábor , Marx Gábor
Füzet:	1993/február, 63 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/május: F.2912

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználjuk a következő ismert tételt: Ha a parabola valamely húrját merőlegesen a vezéregyenesre vetítjük, akkor a vetület felezőpontjából a húrra bocsátott merőleges áthalad a fókuszon. (Bizonyítása megtalálható pl. Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyvének 438. oldalán.)

Jelöljük a parabola fókuszát

F

-fel, vezéregyenesét

d

-vel, a háromszög

a

b

c

oldalai vetületének felezőpontjait

F_{a}

F_{b}

F_{c}

-vel. Használjuk az ábra további jelöléseit is. Az említett tétel szerint

F_{a}

F_{b}

F_{c}

az oldalak irányára

F

-ből állított merőlegeseknek és a vezéregyenesnek a metszéspontjai. Mivel a szerkesztendő háromszögnek nem lehet a vezéregyenesre merőleges oldala, csúcsainak vetületeiről feltehetjük, hogy pl.

B_{1}

A_{1}

és

C_{1}

között van. Ekkor a

b

oldal

A_{1} C_{1}

vetülete akkora, mint az

a

és

c

oldal vetületének összege: ezért

F_{a} F_{c} = \frac{1}{2} A_{1} C_{1}

.
Ezután a szerkesztést úgy végezhetjük, hogy az oldalak irányára

F

-ből merőlegeseket szerkesztünk, amelyek

d

-ből kimetszik az

F_{a}

F_{b}

F_{c}

pontokat. Az

F_{b}

pontból felmérjük a

d

egyenesre mindkét irányba az

F_{a} F_{c}

szakaszt, és így kapjuk az

A_{1}

és

C_{1}

pontokat. Mivel a parabola definíciója szerint

C F = C C_{1}

, a

C

pontot az

F C_{1}

szakasz felező merőlegesének és

C_{1}

-ben a vezéregyenesre állított merőlegesnek a metszéspontja adja. Hasonlóan kapjuk

A

-t, majd az oldalak irányának felhasználásával a

B

csúcsot. A feladat mindig egyértelműen megoldható, ha az adott irányok egyike sem merőleges a vezéregyenesre.

Marx Gábor (Bp., Szent István Gimn., III. o. t.)