Feladat: F.2912 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Futó Gábor ,  Kálmán Tamás ,  Lente Gábor ,  Marx Gábor 
Füzet: 1993/február, 63 - 64. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/május: F.2912

Egy háromszög mindhárom csúcsa illeszkedik egy parabolára, amelynek adott a fókusza és a vezéregyenese. Szerkesszük meg a háromszöget, ha ismerjük oldalainak irányát.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználjuk a következő ismert tételt: Ha a parabola valamely húrját merőlegesen a vezéregyenesre vetítjük, akkor a vetület felezőpontjából a húrra bocsátott merőleges áthalad a fókuszon. (Bizonyítása megtalálható pl. Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyvének 438. oldalán.)

 
 

Jelöljük a parabola fókuszát F-fel, vezéregyenesét d-vel, a háromszög a, b, c oldalai vetületének felezőpontjait Fa, Fb, Fc-vel. Használjuk az ábra további jelöléseit is. Az említett tétel szerint Fa, Fb, Fc az oldalak irányára F-ből állított merőlegeseknek és a vezéregyenesnek a metszéspontjai. Mivel a szerkesztendő háromszögnek nem lehet a vezéregyenesre merőleges oldala, csúcsainak vetületeiről feltehetjük, hogy pl. B1 az A1 és C1 között van. Ekkor a b oldal A1C1 vetülete akkora, mint az a és c oldal vetületének összege: ezért FaFc=12A1C1.
Ezután a szerkesztést úgy végezhetjük, hogy az oldalak irányára F-ből merőlegeseket szerkesztünk, amelyek d-ből kimetszik az Fa, Fb, Fc pontokat. Az Fb pontból felmérjük a d egyenesre mindkét irányba az FaFc szakaszt, és így kapjuk az A1 és C1 pontokat. Mivel a parabola definíciója szerint CF=CC1, a C pontot az FC1 szakasz felező merőlegesének és C1-ben a vezéregyenesre állított merőlegesnek a metszéspontja adja. Hasonlóan kapjuk A-t, majd az oldalak irányának felhasználásával a B csúcsot. A feladat mindig egyértelműen megoldható, ha az adott irányok egyike sem merőleges a vezéregyenesre.
 

 Marx Gábor (Bp., Szent István Gimn., III. o. t.)