A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vegyünk a feladatban szereplő érték helyett -t. Azt fogjuk megmutatni, hogy a síkidomok által lefedett terület biztosan kisebb, mint . (Ebből már következik a feladat állítása.) Legyen a négyzetben lévő síkidomok pontjainak a halmaza . Legyen továbbá i a négyzet valamely oldalával párhuzamos hosszúságú vektor, j pedig az i-nek -os elforgatottja. Az halmaz i-vel való eltoltja legyen , a j-vel való eltoltja pedig . Nyilván a három ponthalmaz egybevágó, tehát az általuk lefedett területek egyenlők. Tegyük fel, hogy -nek van közös pontja valamelyik eltoltjával. Legyen egy ilyen pont . Mivel az egyik eltolással kapott halmaz eleme, ezért van olyan , amelyre , de ugyanakkor , tehát az halmaz két pontjának távolsága lenne, ami lehetetlen. Ezek szerint az -nek nincs közös pontja egyik képhalmazzal sem.
Vizsgáljuk meg most azt, hogy a két eltolással kapott halmaznak van-e közös pontja. Tegyük fel, hogy van, és legyen egy ilyen pont. Ekkor valamely és pontokra és . Ezért a háromszög szabályos, amiért , ez azonban ismét ellentmondás. Azt kapjuk tehát, hogy az és , halmazok közül bármelyik kettő metszete üres. Tekintsük ezután a három halmaz síkbeli elhelyezkedését. Mivel az egységnégyzet részhalmaza, ill. az egységnégyzet i-vel, illetve j-vel való eltoltjának részhalmazai. Ábránkon a három négyzet unióját tüntettük fel, amelynek területe . Ha az és diszjunkt és egyenlő területű, a halmazok területe külön-külön , akkor , tehát . Ezzel az állítást igazoltuk.
Szeidl Ádám (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., II. o. t.) |