|
Feladat: |
F.2901 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Álmos Attila , Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Faragó Gergely , Futó Gábor , Kálmán Tamás , Németh Ákos |
Füzet: |
1992/október,
301 - 302. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Paralelepipedon, Térfogat, Tetraéderek, Vektorok lineáris kombinációi, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/március: F.2901 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Használjuk az ábra jelöléseit. Ismeretes, hogy minden paralelepipedonba két tetraédert lehet írni, amelyek a paralelepipedon középpontjára tükrösek, és bármelyiknek a térfogata a paralelepipedonénak része.
Látni fogjuk, hogy a feladat megoldása szempontjából mindegy, hogy melyik tetraédert választjuk. Az ábrán a tetraédert rajzoltuk meg. Belátjuk, hogy ennek térfogata a paralelepipedon térfogatának -a. Mivel pl. az levágott tetraéder lapjának területe a paralelepipedon lapja területének a fele, az ezekhez a lapokhoz tartozó magasság pedig ugyanaz, ezért egy levágott tetraéder térfogata a paralelepipedon térfogatának része. A négy levágott tetraéder térfogatának összege , így a beírt tetraéder köbtartalma valóban -a a paralelepipedon térfogatának. Legyen tetraéder súlypontja . Írjuk föl a vektort. Tekintve, hogy tetraéder súlypontjának helyvektora így kapható meg:
| | Ezért | | Ebből láthatjuk, hogy , ami azt jelenti, hogy az centrumú, arányú középpontos hasonlóságban képe . Ugyanígy a másik három levágott tetraéder súlypontja a beírt tetraéder egy-egy további csúcsának képe az említett középpontos hasonlóságban. Ezért a súlypontok meghatározta tetraéder térfogata a beírt tetraéder térfogatának -szerese, tehát a paralelepipedon köbtartalmának része. Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) Megjegyzések 1. Néhány megoldónk elemi geometriai eszközökkel (paralelogramma tulajdonságok, súlyvonalak osztási aránya) találta meg az előzőekben leírt arányú középpontos hasonlóságot. Ezek az egyébként szép megoldások valamivel hosszabbak, mint a fenti vektoros megoldás. 2. Csörnyei Marianna 2. megoldásában fölhasználta, hogy a paralelepipedon affinitással kockába vihető át. Mivel az affinitás aránytartó, elegendő a feladatot kockára megoldani. Ezután kiszámította a súlypontok által meghatározott (szabályos) tetraéder élét, majd a térfogatát. |
|