Feladat: F.2901 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Álmos Attila ,  Csörnyei Marianna ,  Dőtsch András ,  Faragó Gergely ,  Futó Gábor ,  Kálmán Tamás ,  Németh Ákos 
Füzet: 1992/október, 301 - 302. oldal  PDF file
Témakör(ök): Paralelepipedon, Térfogat, Tetraéderek, Vektorok lineáris kombinációi, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/március: F.2901

Egy paralelepipedonba beírt tetraéder lapsíkjai a paralelepipedonból négy tetraédert metszenek le. A paralelepipedon térfogatának hányad része annak a tetraédernek a térfogata, amelynek csúcsai a levágott tetraéderek súlypontjai?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Ismeretes, hogy minden paralelepipedonba két tetraédert lehet írni, amelyek a paralelepipedon O középpontjára tükrösek, és bármelyiknek a térfogata a paralelepipedonénak 13 része.

 
 

Látni fogjuk, hogy a feladat megoldása szempontjából mindegy, hogy melyik tetraédert választjuk. Az ábrán a BEGD tetraédert rajzoltuk meg. Belátjuk, hogy ennek térfogata a paralelepipedon térfogatának 13 -a. Mivel pl. az ABDE levágott tetraéder ABD lapjának területe a paralelepipedon ABCD lapja területének a fele, az ezekhez a lapokhoz tartozó magasság pedig ugyanaz, ezért egy levágott tetraéder térfogata a paralelepipedon térfogatának 16 része. A négy levágott tetraéder térfogatának összege 416, így a beírt tetraéder köbtartalma valóban 13 -a a paralelepipedon térfogatának.
Legyen ABDE tetraéder súlypontja S. Írjuk föl a GS vektort. Tekintve, hogy GA=a+b+c,GB=a+b,GD=b+c  és  GE=a+c,az  ABDE tetraéder súlypontjának helyvektora így kapható meg:
GS=GA+GB+GD+GE4=34(a+b+c).
Ezért
OS=GS-GO=GS-GA2=34(a+b+c)-12(a+b+c)=14(a+b+c).
Ebből láthatjuk, hogy OS=-12OG, ami azt jelenti, hogy az O centrumú, -12 arányú  középpontos hasonlóságban G képe S. Ugyanígy a másik három levágott tetraéder súlypontja a beírt tetraéder egy-egy további csúcsának képe az említett középpontos hasonlóságban. Ezért a súlypontok meghatározta tetraéder térfogata a beírt tetraéder térfogatának (12)3-szerese, tehát a paralelepipedon köbtartalmának (12)313=124 része.
 

 Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzések 1. Néhány megoldónk elemi geometriai eszközökkel (paralelogramma tulajdonságok, súlyvonalak osztási aránya) találta meg az előzőekben leírt -12 arányú középpontos hasonlóságot. Ezek az egyébként szép megoldások valamivel hosszabbak, mint a fenti vektoros megoldás.
2. Csörnyei Marianna 2. megoldásában fölhasználta, hogy a paralelepipedon affinitással kockába vihető át. Mivel az affinitás aránytartó, elegendő a feladatot kockára megoldani. Ezután kiszámította a súlypontok által meghatározott (szabályos) tetraéder élét, majd a térfogatát.