A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Használjuk az 1. ábra jelöléseit.
1. ábra Az egyik gömb ‐ az úgynevezett belső érintő gömb ‐ a gúla éleit belső pontokban érinti, szimmetria okokból az , , , alapéleket a felezőpontjukban. Érintse ez a gömb az élt az pontban. A másik gömb ‐ a külső érintő gömb ‐ az alapéleket ugyancsak a felezőpontjukban érinti, az oldaléleket pedig a meghosszabbításukon, pl. -t a pontban. A gömbhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlősége alapján és ( a gömbök érintési pontja a BC élen, pedig a gúla éle). Így , és . Az középpontú középpontos hasonlóságban . Ezért a gömbök térfogatának aránya 1:27. Megjegyzések: 1. A gúla csúcsa egy középpontos hasonlóság centruma. A két élérintő gömböt úgy is származtathatjuk, hogy fölveszünk egy "kis'' gömböt, amely érinti az -ből kiinduló éleket, és középpontja a gúla belsejében van. Nagyítsuk ezt -ből addig, amíg érinti a gúla alapéleit, majd tovább nagyítunk, amíg ez újra bekövetkezik. 2. Legyen az négyzet középpontja . Könnyen látható, hogy az háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Ezért az szakasz felező merőleges síkja a gúla magasságát -ben metszi. Így a belső élérintő gömb sugara , a másik gömb sugara pedig . 3. Gúlánkat az alaplapjára tükrözve szabályos oktaédert kapunk. Ebből nyilvánvaló, hogy a kis gömb középpontja az alapnégyzetben van.
Galambos István (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., III. o. t.)
Kálmán Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)
II. megoldás. Fölhasználjuk az első megoldásban említett középpontos hasonlóságot. A gúla oldallapjának síkja mindkét gömböt egy-egy körben metszi. Mivel a gúla élei a gömbök érintői, az élek a metszetköröknek is érintői lesznek.
2. ábra A 2. ábrán és az egyenes és e körök közös pontjai. Ismeretes, hogy az és érintőszakaszok hossza , illetve . Tekintve, hogy az centrumú középpontos hasonlóság ezeket a köröket is egymásba viszi át, e körök sugarainak, illetve a gömbök sugarainak aránya: s így a térfogatok aránya 1:27.
Megjegyzés: Néhány megoldó megállapította, hogy a két gömb sugarának aránya minden olyan szabályos gúlára 1:3, amelynek élei egyenlő hosszúak. Megjegyezzük, hogy az ilyen gúla legfeljebb ötoldalú lehet. Ugyanis szabályos hatoldalú (vagy 6-nál több oldalú) gúla oldaléle mindig nagyobb, mint az alapél.
Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)
Kálmán Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)
|
|