Kezdőlap


Feladat:	F.2895	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Galambos István , Kálmán Tamás
Füzet:	1992/szeptember, 258 - 260. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Négyszög alapú gúlák, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/február: F.2895

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Használjuk az 1. ábra jelöléseit.

1. ábra

Az egyik gömb ‐ az úgynevezett belső érintő gömb ‐ a gúla éleit belső pontokban érinti, szimmetria okokból az

A B

B C

C D

D A

alapéleket a felezőpontjukban. Érintse ez a gömb az

E C

élt az

F

pontban. A másik gömb ‐ a külső érintő gömb ‐ az alapéleket ugyancsak a felezőpontjukban érinti, az oldaléleket pedig a meghosszabbításukon, pl.

E C

-t a

H

pontban. A gömbhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlősége alapján

C F = C G = \frac{a}{2}

és

C G = C H = \frac{a}{2}

(

G

a gömbök érintési pontja a BC élen,

a

pedig a gúla éle). Így

E F = E C - F C = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}

, és

E H = \frac{3 a}{2}

. Az

E

középpontú középpontos hasonlóságban

E F : E H = 1 : 3

. Ezért a gömbök térfogatának aránya 1:27.
Megjegyzések: 1. A gúla

E

csúcsa egy középpontos hasonlóság centruma. A két élérintő gömböt úgy is származtathatjuk, hogy fölveszünk egy "kis'' gömböt, amely érinti az

E

-ből kiinduló éleket, és középpontja a gúla belsejében van. Nagyítsuk ezt

E

-ből addig, amíg érinti a gúla alapéleit, majd tovább nagyítunk, amíg ez újra bekövetkezik.
2. Legyen az

A B C D

négyzet középpontja

O_{1}

. Könnyen látható, hogy az

E O_{1} C

háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Ezért az

E C

szakasz felező merőleges síkja a gúla

E O_{1}

magasságát

O_{1}

-ben metszi. Így a belső élérintő gömb sugara

O_{1} F = \frac{a}{2}

, a másik gömb sugara pedig

\frac{3 a}{2}

.
3. Gúlánkat az alaplapjára tükrözve szabályos oktaédert kapunk. Ebből nyilvánvaló, hogy a kis gömb középpontja az alapnégyzetben van.

Galambos István (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., III. o. t.)

Kálmán Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Fölhasználjuk az első megoldásban említett középpontos hasonlóságot.
A gúla

E A B

oldallapjának síkja mindkét gömböt egy-egy körben metszi. Mivel a gúla élei a gömbök érintői, az élek a metszetköröknek is érintői lesznek.

2. ábra

A 2. ábrán

S

és

T

E A

egyenes és e körök közös pontjai. Ismeretes, hogy az

E S

és

E T

érintőszakaszok hossza

s - a

, illetve

s

. Tekintve, hogy az

E

centrumú középpontos hasonlóság ezeket a köröket is egymásba viszi át, e körök sugarainak, illetve a gömbök sugarainak aránya:

\begin{matrix} \frac{s - a}{s} = \frac{\frac{3}{2} a - a}{\frac{3}{2} a} = \frac{1}{3}, \end{matrix}

s így a térfogatok aránya 1:27.

Megjegyzés: Néhány megoldó megállapította, hogy a két gömb sugarának aránya minden olyan szabályos gúlára 1:3, amelynek élei egyenlő hosszúak. Megjegyezzük, hogy az ilyen gúla legfeljebb ötoldalú lehet. Ugyanis szabályos hatoldalú (vagy 6-nál több oldalú) gúla oldaléle mindig nagyobb, mint az alapél.

Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Kálmán Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)