Feladat: F.2895 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Galambos István ,  Kálmán Tamás 
Füzet: 1992/szeptember, 258 - 260. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt gömb, Négyszög alapú gúlák, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/február: F.2895

Egy szabályos négyoldalú gúla minden éle egyenlő hosszúságú. Két olyan gömb van, amely a gúla minden élegyenesét érinti. Mennyi ezek térfogatának aránya?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Használjuk az 1. ábra jelöléseit.

 
 

1. ábra
 

Az egyik gömb ‐ az úgynevezett belső érintő gömb ‐ a gúla éleit belső pontokban érinti, szimmetria okokból az AB, BC, CD, DA alapéleket a felezőpontjukban. Érintse ez a gömb az EC élt az F pontban. A másik gömb ‐ a külső érintő gömb ‐ az alapéleket ugyancsak a felezőpontjukban érinti, az oldaléleket pedig a meghosszabbításukon, pl. EC-t a H pontban. A gömbhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlősége alapján CF=CG=a2 és CG=CH=a2 (G a gömbök érintési pontja a BC élen, a pedig a gúla éle). Így EF=EC-FC=a-a2=a2, és EH=3a2. Az E középpontú középpontos hasonlóságban EF:EH=1:3. Ezért a gömbök térfogatának aránya 1:27.
Megjegyzések: 1. A gúla E csúcsa egy középpontos hasonlóság centruma. A két élérintő gömböt úgy is származtathatjuk, hogy fölveszünk egy "kis'' gömböt, amely érinti az E-ből kiinduló éleket, és középpontja a gúla belsejében van. Nagyítsuk ezt E-ből addig, amíg érinti a gúla alapéleit, majd tovább nagyítunk, amíg ez újra bekövetkezik.
2. Legyen az ABCD négyzet középpontja O1. Könnyen látható, hogy az EO1C háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Ezért az EC szakasz felező merőleges síkja a gúla EO1 magasságát O1-ben metszi. Így a belső élérintő gömb sugara O1F=a2, a másik gömb sugara pedig 3a2.
3. Gúlánkat az alaplapjára tükrözve szabályos oktaédert kapunk. Ebből nyilvánvaló, hogy a kis gömb középpontja az alapnégyzetben van.
 

Galambos István (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., III. o. t.)

Kálmán Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)

 
II. megoldás. Fölhasználjuk az első megoldásban említett középpontos hasonlóságot.
A gúla EAB oldallapjának síkja mindkét gömböt egy-egy körben metszi. Mivel a gúla élei a gömbök érintői, az élek a metszetköröknek is érintői lesznek.
 
 
 

2. ábra
 

A 2. ábrán S és T az EA egyenes és e körök közös pontjai. Ismeretes, hogy az ES és ET érintőszakaszok hossza s-a, illetve s. Tekintve, hogy az E centrumú középpontos hasonlóság ezeket a köröket is egymásba viszi át, e körök sugarainak, illetve a gömbök sugarainak aránya:
s-as=32a-a32a=13,
s így a térfogatok aránya 1:27.
 

Megjegyzés: Néhány megoldó megállapította, hogy a két gömb sugarának aránya minden olyan szabályos gúlára 1:3, amelynek élei egyenlő hosszúak. Megjegyezzük, hogy az ilyen gúla legfeljebb ötoldalú lehet. Ugyanis szabályos hatoldalú (vagy 6-nál több oldalú) gúla oldaléle mindig nagyobb, mint az alapél.
 
Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Kálmán Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)