Feladat: F.2893 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Faragó Gergely ,  Futó Gábor ,  Kálmán Tamás ,  Nyúl László ,  Párniczky Benedek ,  Stőhr Lóránt ,  Újváry-Menyhárt Zoltán 
Füzet: 1992/szeptember, 256 - 257. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Magasságvonal, Súlypont, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/február: F.2893

Egy háromszög magasságai ma, mb, mc, egy belső pontjának az oldalaktól való távolságai pa, pb, pc.
 
Bizonyítsuk be, hogy mambmc27papbpc.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a feladatban szereplő belső pont P. Húzzunk P-n át párhuzamosokat a háromszög oldalaival.

 
 

Használjuk az ábra további jelöléseit is. A HPI, GFP, PEJ háromszögek hasonlóak az ABC háromszöghöz, a hasonlóság aránya legyen rendre α, β, γ. Az ábráról leolvasható, hogy AB=AG+GF+FB=HP+GF+PE=αAB+βAB+γAB, amiből azonnal következik, hogy α+β+γ=1. A számtani és mértani közép közti összefüggés szerint αβγ(α+β+γ3)3=127, amit mambmc-vel szorozva: αmaβmbγmcmambmc27.
Ebből 27papbpcmambmc; fölhasználtuk, hogy pl. αma=pa. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk. Egyenlőség akkor áll fenn, ha α, β, γ számtani és mértani közepe megegyezik, tehát ha α=β=γ=13, azaz pa=ma3, pb=mb3, pc=mc3. Ez pontosan akkor következik be, ha P a háromszög súlypontja.
 

Ujváry-Menyhárt Zoltán (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
 

II. megoldás. Jelöljük az ABC háromszög területét t-vel, a BCP, ABP, CAP háromszögek területét pedig t1, t2, t3-mal. Világos, hogy t1+t2+t3=t. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint
(t3)3=(t1+t2+t33)3t1t2t3.
Az ama2=bmb2=cmc2=t összefüggések alapján t3=abcmambmc8. Hasonlóan kapjuk, hogy t1t2t3=abcpapbpc8, hiszen pl. t1=apa2. A két utóbbi összefüggés szerint (1) így alakul:
abcmambmc827abcpapbpc8,amibőlmambmc27papbpc.
Egyenlőség pontosan akkor lesz, ha (1)-ben egyenlőség áll fenn, tehát ha t1=t2=t3=t3, azaz, ha P a háromszög súlypontja.