Kezdőlap


Feladat:	F.2883	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kálmán Tamás
Füzet:	1992/május, 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Apollóniusz-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/december: F.2883

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltesszük, hogy $A ≢ B$ és $O < φ < π$ . Tekintsünk egy $O$ középpontú, $A$ -n átmenő kört, amelynek külső pontja $B$ , és a $B$ -ből $k$ -hoz húzott érintőszakaszok szöge $φ .$

Legyen az egyik érintési pont

E

. Az ábráról láthatjuk, hogy

A O = O E

és

\frac{A O}{B O} = \frac{E O}{B O} = sin \frac{φ}{2} =

állandó. Ez azt jelenti, hogy

O

A, B

pontokhoz tartozó

sin \frac{φ}{2} (\neq 1)

arányú Apollóniosz-körre illeszkedik. Megfordítva, ha

O'

az Apollóniosz-kör egy pontja, akkor

\frac{A O'}{B O'} = sin \frac{φ}{2}

, tehát az

O'

középpontú,

A O'

sugarú kör a

B

pontból

φ

szögben látszik.

Megjegyzések. 1. Mivel az Apollóniosz-kör mértani hely, a megfordítás eléggé nyilvánvaló. Mégis illik elmondani, és ellenőrizni, hogy az

O'

középpontú,

A

-n átmenő kör

B

-ből

φ

szögben látszik. Akik ezt elmulasztották, 1 pontot elveszítettek.
2. Kálmán Tamás (Főv. Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.) azt is megvizsgálta, hogy mi lesz azon

k

körök középpontjának mértani helye az

A, B

pontokat és a

k

-t tartalmazó síkban, amely körök

A

-ból, illetve

B

-ből adott

φ_{1}

, illetve

φ_{2}

szögben látszanak. A fenti megoldáshoz hasonlóan a mértani hely az

A, B

pontokhoz tartozó

\frac{sin (φ_{2} / 2)}{sin (φ_{1} / 2)}

arányú Apollóniosz-kör, ha

φ_{1} \neq φ_{2}

, ill. az

A B

felező merőlegese, ha

φ_{1} = φ_{2} .

3. Lapunk 1987. évi 10. számában az F. 2667. feladatban (megoldása megjelent az 1988. évi 5. számban) azt kérdeztük, hogyan lehet a síkon olyan kört szerkeszteni, amely átmegy a sík két adott pontján, és egy adott pontból adott

φ

szögben látszik.