Feladat: F.2883 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kálmán Tamás 
Füzet: 1992/május, 206. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Apollóniusz-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/december: F.2883

A sík két adott pontja A és B. Tekintsük mindazokat az A ponton átmenö k köröket, amelyek B-ből adott φ szögben látszanak. Mi a k körök középpontjának mértani helye?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltesszük, hogy AB és O<φ<π. Tekintsünk egy O középpontú, A-n átmenő kört, amelynek külső pontja B, és a B-ből k-hoz húzott érintőszakaszok szöge φ.

 
 

Legyen az egyik érintési pont E. Az ábráról láthatjuk, hogy AO=OE és AOBO=EOBO=sinφ2= állandó. Ez azt jelenti, hogy O az A,B pontokhoz tartozó sinφ2(1) arányú Apollóniosz-körre illeszkedik. Megfordítva, ha O' az Apollóniosz-kör egy pontja, akkor AO'BO'=sinφ2, tehát az O' középpontú, AO' sugarú kör a B pontból φ szögben látszik.
 
Megjegyzések. 1. Mivel az Apollóniosz-kör mértani hely, a megfordítás eléggé nyilvánvaló. Mégis illik elmondani, és ellenőrizni, hogy az O' középpontú, A-n átmenő kör B-ből φ szögben látszik. Akik ezt elmulasztották, 1 pontot elveszítettek.
2. Kálmán Tamás (Főv. Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.) azt is megvizsgálta, hogy mi lesz azon k körök középpontjának mértani helye az A,B pontokat és a k-t tartalmazó síkban, amely körök A-ból, illetve B-ből adott φ1, illetve φ2 szögben látszanak. A fenti megoldáshoz hasonlóan a mértani hely az A,B pontokhoz tartozó sin(φ2/2)sin(φ1/2) arányú Apollóniosz-kör, ha φ1φ2, ill. az AB felező merőlegese, ha φ1=φ2.
3. Lapunk 1987. évi 10. számában az F. 2667. feladatban (megoldása megjelent az 1988. évi 5. számban) azt kérdeztük, hogyan lehet a síkon olyan kört szerkeszteni, amely átmegy a sík két adott pontján, és egy adott pontból adott φ szögben látszik.