Kezdőlap


Feladat:	F.2879	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bálint Péter , Csikai Szabolcs , Csoma Roland , Csorba Péter , Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Galambos István , Kálmán Tamás , Kerekes Balázs , Kotnyek Balázs , Stőhr Lóránt , Tichler Krisztián , Tichy Eszter , Varjú Katalin
Füzet:	1992/április, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/december: F.2879

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldal pontosan akkor értelmes, ha $x \geq - \frac{7}{2}$ ; a jobb oldal pedig akkor nemnegatív, ha $| x | \geq \sqrt[]{7}$ . Ez a két feltétel akkor teljesül egyszerre, ha

\begin{matrix} - \frac{7}{2} \leq x \leq - \sqrt[]{7} vagy \sqrt[]{7} \leq x . \end{matrix}

(1)

(1)-et feltéve négyzetre emeljük az egyenletet, amiből átrendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} x^{4} - 14 x^{2} - 8 x + 21 = 0. \end{matrix}

(2)

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy ennek a

- 3

és az

1

megoldása, ezért kiemelhetjük az

(x + 3)

és

(x - 1)

gyöktényezőket:

\begin{matrix} (x + 3) (x - 1) (x^{2} - 2 x - 7) = 0. \end{matrix}

Ez nyilván akkor teljesül, ha

x + 3 = 0, x - 1 = 0

, vagy

x^{2} - 2 x - 7 = 0

. Így (2) megoldásai:

\begin{matrix} x_{1} = - 3, x_{2} = 1, x_{3} = 1 + 2 \sqrt[]{2}, x_{4} = 1 - 2 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ezek közül csak

x_{1}

és

x_{3}

teljesíti az (1) feltételt, ezért az eredeti egyenlet megoldásai

- 3

és

1 + 2 \sqrt[]{2}