Kezdőlap


Feladat:	F.2873	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barát János , Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Gara Péter , Kerekes Balázs , Kóczy László , Marx Gábor , Megyesi Zoltán , Párniczky Benedek , Pete Gábor , Ratkó Éva , Reiff Ádám , Róka Dániel , Szendrei Tamás
Füzet:	1992/május, 202. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/november: F.2873

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A pozitív számok súlyozott számtani és mértani közepei közt fennálló egyenlőtlenség felhasználásával

\begin{matrix} a b^{5} + b c^{5} + c a^{5} = \frac{8 + 2 + 11}{21} (a b^{5} + b c^{5} + c a^{5}) = & (1) \\ = \frac{8 a b^{5} + 2 b c^{5} + 11 c a^{5}}{21} + \frac{11 a b^{5} + 8 b c^{5} + 2 c a^{5}}{21} + \frac{2 a b^{5} + 11 b c^{5} + 8 c a^{5}}{21} \geq \\ \geq {[{(a b^{5})}^{8} {(b c^{5})}^{2} {(c a^{5})}^{11}]}^{\frac{1}{21}} + {[{(a b^{5})}^{11} {(b c^{5})}^{8} {(c a^{5})}^{2}]}^{\frac{1}{21}} + {[(a b^{5}) {(b c^{5})}^{11} {(c a^{5})}^{8}]}^{\frac{1}{21}} = \\ = a^{3} b^{2} c + b^{3} c^{2} a + c^{3} a^{2} b = a b c (a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a) . \end{matrix}

Egyenlőség pontosan akkor áll, ha

a b^{5} = b c^{5} = c a^{5}, azaz a = b = c .

φ

Megjegyzés. A

8,2,11

súlyokat ‐ eredetileg mint

g_{1}, g_{2}, g_{3}

pozitív számokat ‐ úgy választottuk, hogy (1) 3. és 4. sorának első tagjaiban

a, b, c

kitevői egyenlők legyenek. Ebből a homogén lineáris egyenletrendszerből kapjuk a

g_{1} : g_{2} : g_{3} = 8 : 2 : 11

arányt.