Feladat: F.2873 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát János ,  Csörnyei Marianna ,  Futó Gábor ,  Gara Péter ,  Kerekes Balázs ,  Kóczy László ,  Marx Gábor ,  Megyesi Zoltán ,  Párniczky Benedek ,  Pete Gábor ,  Ratkó Éva ,  Reiff Ádám ,  Róka Dániel ,  Szendrei Tamás 
Füzet: 1992/május, 202. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/november: F.2873

Bizonyítsuk be, hogy minden a, b, c pozitív számra
ab5+bc5+ca5abc(a2b+b2c+c2a).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A pozitív számok súlyozott számtani és mértani közepei közt fennálló egyenlőtlenség felhasználásával

ab5+bc5+ca5=8+2+1121(ab5+bc5+ca5)=(1)=8ab5+2bc5+11ca521+11ab5+8bc5+2ca521+2ab5+11bc5+8ca521[(ab5)8(bc5)2(ca5)11]121+[(ab5)11(bc5)8(ca5)2]121+[(ab5)(bc5)11(ca5)8]121==a3b2c+b3c2a+c3a2b=abc(a2b+b2c+c2a).


Egyenlőség pontosan akkor áll, ha ab5=bc5=ca5,azaza=b=c.
 
φMegjegyzés. A 8,2,11 súlyokat ‐ eredetileg mint g1,g2,g3 pozitív számokat ‐ úgy választottuk, hogy (1) 3. és 4. sorának első tagjaiban a,b,c kitevői egyenlők legyenek. Ebből a homogén lineáris egyenletrendszerből kapjuk a g1:g2:g3=8:2:11 arányt.