Feladat: F.2869 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Faragó Gergely ,  Gábor Tamás ,  Kálmán Tamás ,  Németh Ákos ,  Pajor Tibor ,  Párniczky Benedek ,  Szeidl Ádám ,  Tóth Attila ,  Tóth Csaba D. ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1992/szeptember, 253 - 254. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Eltolás, Konstruktív megoldási módszer, Egyéb sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/október: F.2869

Van-e olyan ötszög, amelyet két egybevágó ötszögre lehet bontani?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt fogjuk bizonyítani, hogy tetszőleges n3 természetes számhoz található olyan n-szög, amelyet fel lehet bontani két egybevágó n-szögre.
Legyen először n páros. Vegyünk fel egy negyed köríven egy k=n2 csúcsú A1A2 ...Ak töröttvonalat. Toljuk el ezt a töröttvonalat egy nullától különböző a vektorral, majd ‐a-val. Az eltolás révén kapjuk a B1B2 ...Bk , illetve C1C2...Ck töröttvonalakat. Könnyen látható, hogy aB1B2 ...BkCkCk-1...C1 csúcsokkal rendelkező n -szöget az A1A2 ...Ak töröttvonal a B1B2 ...BkAkAk-1 ...A1 és A1A2...AkCkCk-1 ...C1 n-szögekre bontja, amelyek egybevágók, hiszen az elsőt ‐a-val eltolva a másodikat kapjuk.
Legyen ezután n páratlan. Vegyünk fel egy negyed köríven egy k=n+12 csúcsú A1A2 ...Ak töröttvonalat. Forgassuk el ezt az A1 körül 90 -kal, majd -90-kal; így kapjuk a B1B2...Bk, illetve C1C2 ...Ck töröttvonalakat, és világos, hogy A1B1C1 felezi a B2C2 szakaszt. A B2B3...BkAkCkCk-1 ...C2 csúcsokkal rendelkező n-szöget az A1A2 ...Ak töröttvonal a B1B2 ...BkAkAk-1 ...A2 és A1A2 ... AkCkCk-1 ... C2 n-szögekre bontja, amelyek egybevágók, mivel az első A1 körüli ‐ 90-os forgatással átvihető a másodikba.

 

Csörnyei Marianna (Fővárosi Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján