Kezdőlap


Feladat:	F.2866	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Álmos Attila , Csermely Zoltán , Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Faragó Gergely , Gefferth András , Kálmán Tamás , Katz Sándor , Kucsera Henrik , Risbjerg Anna , Róka Dániel , Sarang Attila , Szendrei Tamás , Veres Gábor , Zámborszky Ferenc
Füzet:	1992/szeptember, 252 - 253. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Trigonometrikus egyenletek, Koordináta-geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/október: F.2866

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x^{2} + y^{2} = 1$ egyenlet az origó középpontú, egységnyi sugarú kör egyenlete; ezért található olyan $φ \in [0,2 π)$ szám, amelyre

\begin{matrix} x = cos φ és y = sin φ . \end{matrix}

Ezeket a második egyenletbe helyettesítve:

\begin{matrix} 4 cos^{3} φ - 3 cos φ = \sqrt[]{\frac{sin φ + 1}{2}} . \end{matrix}

Az egyenlet bal oldalán éppen

cos 3 φ

áll; így az egyenlet a következőképpen alakul:

\begin{matrix} cos 3 φ = \sqrt[]{\frac{sin φ + 1}{2}} . \end{matrix}

Kikötve, hogy

cos 3 φ \geq 0,

emeljünk négyzetre és rendezzük át az egyenletet:

\begin{matrix} 2 cos^{2} 3 φ - 1 = sin φ, \end{matrix}

\begin{matrix} cos 6 φ = cos (\frac{π}{2} - φ) . \end{matrix}

Ez úgy lehetséges, ha

6 φ = (π / 2 - φ) + 2 k π

, vagy

6 φ = - (π / 2 - φ) + 2 k π

, azaz

\begin{matrix} φ = \frac{π}{14} + \frac{2 k π}{7} vagy φ = - \frac{π}{10} + \frac{2 k π}{5} . \end{matrix}

Ebből ‐ figyelembe véve, hogy

0 \leq φ < 2 π

és

cos 3 φ \geq 0

‐ a következő értékeket kapjuk:

\begin{matrix} φ_{1} & = \frac{π}{14}; & φ_{2} & = \frac{9 π}{14}; & φ_{3} & = \frac{17 π}{14}, illetve \\ φ_{4} & = \frac{7 π}{10}; & φ_{5} & = \frac{3 π}{2}; & φ_{6} & = \frac{19 π}{10} . \end{matrix}

Az ezekhez tartozó megoldások:

\begin{matrix} x_{1} & = cos \frac{π}{14}, & y_{1} & = sin \frac{π}{14}; \end{matrix}