Feladat: F.2866 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Álmos Attila ,  Csermely Zoltán ,  Csörnyei Marianna ,  Dőtsch András ,  Faragó Gergely ,  Gefferth András ,  Kálmán Tamás ,  Katz Sándor ,  Kucsera Henrik ,  Risbjerg Anna ,  Róka Dániel ,  Sarang Attila ,  Szendrei Tamás ,  Veres Gábor ,  Zámborszky Ferenc 
Füzet: 1992/szeptember, 252 - 253. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletrendszerek, Trigonometrikus egyenletek, Koordináta-geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/október: F.2866

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x2+y2=14x3-3x=y+12.



A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az x2+y2=1 egyenlet az origó középpontú, egységnyi sugarú kör egyenlete; ezért található olyan φ[0,2π) szám, amelyre

x=cosφésy=sinφ.
Ezeket a második egyenletbe helyettesítve:
4cos3φ-3cosφ=sinφ+12.
Az egyenlet bal oldalán éppen cos3φ áll; így az egyenlet a következőképpen alakul:
cos3φ=sinφ+12.
Kikötve, hogy cos3φ0, emeljünk négyzetre és rendezzük át az egyenletet:
2cos23φ-1=sinφ,
cos6φ=cos(π2-φ).
Ez úgy lehetséges, ha 6φ=(π/2-φ)+2kπ, vagy 6φ=-(π/2-φ)+2kπ, azaz
φ=π14+2kπ7  vagy  φ=-π10+2kπ5.
Ebből ‐ figyelembe véve, hogy 0φ<2π és cos3φ0 ‐ a következő értékeket kapjuk:
φ1=π14;φ2=9π14;φ3=17π14,illetveφ4=7π10;φ5=3π2;φ6=19π10.
Az ezekhez tartozó megoldások:
x1=cosπ14,y1=sinπ14;x4=cos7π10,y4=sin7π10;x2=cos9π14,y2=sin9π14;x5=0,y5=-1;x3=cos17π14,y3=sin17π14;x6=cos19π10,y6=sin19π10.