Kezdőlap


Feladat:	F.2863	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csorba Péter , Dienes Péter , Faragó Gergely , Farkas Zénó , Gara Péter , Hajba Tamás , Hegedűs Andrea , Horváth Gábor , Kálmán Tamás , Kis Gábor , Lente Gábor , Madarász Gergely , Molnár-Sáska Gábor , Szabó Péter , Tóth Csaba , Valkó Benedek
Füzet:	1992/március, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/szeptember: F.2863

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ területű háromszögeknek a $B C = a$ oldallal párhuzamos oldalát $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ -mal. Használjuk az ábrák további jelöléseit. Mivel egy paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, $a_{1} + a_{2} + a_{3} = a$ , amiből

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{a} + \frac{a_{2}}{a} + \frac{a_{3}}{a} = 1. \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

A létrejött háromszögek mindegyike hasonló az

A B C

háromszöghöz, tehát megfelelő oldalaik aránya megegyezik a területük négyzetgyökének arányával. Ezért az előbbi egyenlőség így írható:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{T_{1}}}{\sqrt[]{T}} + \frac{\sqrt[]{T_{2}}}{\sqrt[]{T}} + \frac{\sqrt[]{T_{3}}}{\sqrt[]{T}} = 1, amiből \sqrt[]{T_{1}} + \sqrt[]{T_{2}} + \sqrt[]{T_{3}} = \sqrt[]{T}, \end{matrix}

amint azt bizonyítani kellett.

Megjegyzések A fenti bizonyítás akkor is érvényes, ha

P

pl. az

A C

oldalon van. Ekkor

a_{1} + a_{3} = a

, és az állítás így alakul:

\sqrt[]{T_{1}} + \sqrt[]{T_{3}} = \sqrt[]{T}

. Ha

P

a 2. ábra szerinti külső pont, akkor

a_{1} - a_{2} + a_{3} = a

, és ebből

\sqrt[]{T_{1}} - \sqrt[]{T_{2}} + \sqrt[]{T_{3}} = \sqrt[]{T}

adódik. Egészen általánosan megmutatható, hogy ha

P

a háromszög síkjának egy pontja, és a

P

-n át az oldalakkal húzott

2 - 2

párhuzamos és

1 - 1

oldal egyenese által határolt három háromszög területe

T_{1}

T_{2}

, illetve

T_{3}

, akkor

ε_{1} \sqrt[]{T_{1}} + ε_{2} \sqrt[]{T_{2}} + ε_{3} \sqrt[]{T_{3}} = \sqrt[]{T}

, ahol

ε_{1}

ε_{2}

ε_{3}

értéke

1

- 1

vagy

0

aszerint, hogy

P

a megfelelő háromszögoldal melyik félsíkjában van, illetve illeszkedik arra.