Feladat: F.2863 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csorba Péter ,  Dienes Péter ,  Faragó Gergely ,  Farkas Zénó ,  Gara Péter ,  Hajba Tamás ,  Hegedűs Andrea ,  Horváth Gábor ,  Kálmán Tamás ,  Kis Gábor ,  Lente Gábor ,  Madarász Gergely ,  Molnár-Sáska Gábor ,  Szabó Péter ,  Tóth Csaba ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1992/március, 110 - 111. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/szeptember: F.2863

A T területű háromszög egy belső pontján át párhuzamost húzunk mindegyik oldallal. Ezek a háromszöget paralelogrammákra és háromszögekre bontják. Jelöljük a létrejövő háromszögek területét T1,T2 illetve T3-mal, és bizonyítsuk be, hogy
T1+T2+T3=T.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a T1,T2,T3 területű háromszögeknek a BC=a oldallal párhuzamos oldalát a1,a2,a3-mal. Használjuk az ábrák további jelöléseit. Mivel egy paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, a1+a2+a3=a, amiből

a1a+a2a+a3a=1.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

A létrejött háromszögek mindegyike hasonló az ABC háromszöghöz, tehát megfelelő oldalaik aránya megegyezik a területük négyzetgyökének arányával. Ezért az előbbi egyenlőség így írható:
T1T+T2T+T3T=1,amibőlT1+T2+T3=T,
amint azt bizonyítani kellett.
 
Megjegyzések A fenti bizonyítás akkor is érvényes, ha P pl. az AC oldalon van. Ekkor a1+a3=a, és az állítás így alakul: T1+T3=T. Ha P a 2. ábra szerinti külső pont, akkor a1-a2+a3=a, és ebből T1-T2+T3=T adódik. Egészen általánosan megmutatható, hogy ha P a háromszög síkjának egy pontja, és a P-n át az oldalakkal húzott 2-2 párhuzamos és 1-1 oldal egyenese által határolt három háromszög területe T1, T2, illetveT3, akkor ε1T1+ε2T2+ε3T3=T, ahol ε1, ε2, ε3 értéke 1, -1 vagy 0 aszerint, hogy P a megfelelő háromszögoldal melyik félsíkjában van, illetve illeszkedik arra.