Kezdőlap


Feladat:	F.2857	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Futó Gábor , Párniczky Benedek , Stőhr Lóránt
Füzet:	1992/január, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oldalfelező merőleges, Körülírt kör, Párhuzamos szelőszakaszok tétele, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/május: F.2857

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Mivel az $A B M$ háromszög egyenlő szárú, $A B M ∢ = B A M ∢,$ a kerületi szögek tétele szerint pedig $A B M ∢ = A A_{1} B_{1} ∢ .$ E két összefüggésből $A A_{1} B_{1} ∢ = B A M ∢,$ amiből következik, hogy $A_{1} B_{1} ‖ A B$ .

Vezessük be az

\begin{matrix} \frac{A_{1} B_{1}}{A B} = λ \end{matrix}

(1)

jelölést. A párhuzamos szelők tételét és a szelődarabok arányára vonatkozó tételt alkalmazva:

\begin{matrix} \frac{M A_{1}}{M A} = \frac{D A_{1}}{E A} = \frac{D M}{E M} = \frac{D B_{1}}{E B} = λ . \end{matrix}

(2)

Írjuk föl a

D

és az

E

pontoknak a körre vonatkozó hatványát:

\begin{matrix} D C \cdot D C_{1} & = D A_{1} \cdot D B_{1}, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} E C \cdot E C_{1} & = E A \cdot E B . \end{matrix}

E két összefüggésből és (2)-ből:

\begin{matrix} \frac{D C}{E C} \cdot \frac{D C_{1}}{E C_{1}} = \frac{D A_{1}}{E A} \cdot \frac{D B_{1}}{E B} = λ^{2} . \end{matrix}

(3)

A párhuzamos szelők tétele szerint

\frac{D C}{E C} = \frac{D X_{1}}{E A} és \frac{D C_{1}}{E C_{1}} = \frac{D A_{1}}{E X},

ezért (3) így alakítható:

\begin{matrix} λ^{2} = \frac{D X_{1}}{E A} \cdot \frac{D A_{1}}{E X} = \frac{D A_{1}}{E A} \cdot \frac{D X_{1}}{E X} = λ \cdot \frac{D X_{1}}{E X}, \end{matrix}

(4)

ahol közben fölhasználtuk (2)-t és fölcseréltük a számlálók sorrendjét. (4)-ből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{D X_{1}}{E X} = λ . \end{matrix}

(5)

Tekintsük ezután az

E X D X_{1}

trapézt. Tegyük fel, hogy az

E D

és az

X X_{1}

átlók metszéspontja valamely

M_{1}

pont. A párhuzamos szelők tétele és a szelődarabok arányára vonatkozó tétel, valamint (5) szerint:

\begin{matrix} \frac{X_{1} M_{1}}{X M_{1}} = \frac{D M_{1}}{E M_{1}} = \frac{D X_{1}}{E X} = λ, \end{matrix}

de (2) miatt

\frac{D M}{E M} = λ,

ezért az adott arányú osztópont egyértelműsége következtében

M_{1} \equiv M .

. Tehát az

X X_{1}

átló átmegy az

M

ponton. Hasonlóan igazolhatjuk, hogy

Y Y_{1}

átmegy

M

-en.

Futó Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)