A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek az adott egyenesek , , , . Tekintsük egyenlőre csak az egyeneseket és ezek normáltranzverzálisát. Utóbbinak -ra illeszkedő végpontja legyen , -re illeszkedő végpontja . Azt állítjuk, hogy az szakasz felező merőleges síkja azon szakaszok felezőpontjainak mértani helye, amelyeknek végpontja -ra, végpontja pedig -re illeszkedik. Vegyünk fel egy ilyen szakaszt, messe ez a síkot -ben. Mivel és a síktól egyenlő távolságra van, . Megfordítva, legyen a sík tetszőleges pontja. Tükrözzük -re az egyenest, a tükörkép legyen . Az egyenes benne van a -n átmenő, a síkkal szerkeszthető párhuzamos síkban, és mivel és nem párhuzamosak, metszi -t egy pontban. -et az pontra tükrözve, a tükörkép az egyenes egy pontja lesz. Nyilván , tehát tetszőleges -hez létezik olyan szakasz, amelynek végpontjai illeszkednek -ra, illetve -re, felezőpontja pedig . Ha a két síknak van közös pontja ‐ tehát egybeesnek vagy metszik egymást ‐ akkor végtelen sok közös pontjuk van. E közös pontok bármelyike válaszható a két pár kitérő egyenes egy-egy pontját összekötő szakasz felezőpontjának. Ezért egy ilyen ponthoz az előbbiek szerint szerkeszthető olyan paralelogramma, amelynek csúcsai más-más kitérő egyeneseken vannak, és ez a pont a paralelogramma középpontja. Ebben az esetben végtelen sok paralelogramma szerkeszthető. Nincs viszont megoldás, ha akármelyik két egyenest választva, a normáltranszverzálisuk felezőmerőleges síkja párhuzamos a másik két egyenes normáltranszverzálisának felezőmerőleges síkjával. Ez akkor következik be, ha a hatféleképpen kiválasztható felezőmerőleges síkok mind különbözőek és páronként párhuzamosak, , , és négy (különböző) párhuzamos sík egyenesei.
Fleiner Balázs és Kálmán Tamás dolgozata alapján |