Feladat: F.2823 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Battyányi Péter ,  Csörnyei Marianna ,  Faragó Gergely ,  Fleiner Balázs ,  Futó Tibor ,  Kálmán Tamás ,  Kórász Tamás ,  Kőszegi Botond ,  Lente Gábor ,  Miklós György ,  Papolczy Péter ,  Párniczky Benedek ,  Perlaki Tamás ,  Piróth Attila ,  Pór Attila ,  Reiff Ádám ,  Risbjerg Anna ,  Szalkai Ákos ,  Újváry-Menyhárt Zoltán 
Füzet: 1991/május, 207 - 208. oldal  PDF file
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Mértani helyek, Paralelogrammák, Diszkusszió, Szerkesztések a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/november: F.2823

Adott négy, páronként kitérő egyenes. Hány olyan paralelogramma szerkeszthető, amelynek minden csúcsa ezek közül más-más kitérő egyenesen van?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az adott egyenesek a, b, c, d. Tekintsük egyenlőre csak az a,b egyeneseket és ezek normáltranzverzálisát. Utóbbinak a-ra illeszkedő végpontja legyen A, b-re illeszkedő végpontja B. Azt állítjuk, hogy az AB szakasz σ felező merőleges síkja azon PQ szakaszok felezőpontjainak mértani helye, amelyeknek P végpontja a-ra, Q végpontja pedig b-re illeszkedik. Vegyünk fel egy ilyen PQ szakaszt, messe ez a σ síkot R-ben. Mivel P és Q a σ síktól egyenlő távolságra van, PR=RQ. Megfordítva, legyen R a σ sík tetszőleges pontja. Tükrözzük R-re az a egyenest, a tükörkép legyen a'. Az a' egyenes benne van a b-n átmenő, a σ síkkal szerkeszthető párhuzamos síkban, és mivel a és b nem párhuzamosak, a' metszi b-t egy Q1 pontban. Q1-et az R pontra tükrözve, a tükörkép az a egyenes egy P1 pontja lesz. Nyilván P1R=RQ1, tehát tetszőleges R-hez létezik olyan P1Q1 szakasz, amelynek végpontjai illeszkednek a-ra, illetve b-re, felezőpontja pedig R. Ha a két síknak van közös pontja ‐ tehát egybeesnek vagy metszik egymást ‐ akkor végtelen sok közös pontjuk van. E közös pontok bármelyike válaszható a két pár kitérő egyenes egy-egy pontját összekötő szakasz felezőpontjának. Ezért egy ilyen ponthoz az előbbiek szerint szerkeszthető olyan paralelogramma, amelynek csúcsai más-más kitérő egyeneseken vannak, és ez a pont a paralelogramma középpontja. Ebben az esetben végtelen sok paralelogramma szerkeszthető.
Nincs viszont megoldás, ha akármelyik két egyenest választva, a normáltranszverzálisuk felezőmerőleges síkja párhuzamos a másik két egyenes normáltranszverzálisának felezőmerőleges síkjával. Ez akkor következik be, ha a hatféleképpen kiválasztható felezőmerőleges síkok mind különbözőek és páronként párhuzamosak, a, b, c és d négy (különböző) párhuzamos sík egyenesei.

 
 Fleiner Balázs és Kálmán Tamás dolgozata alapján