Kezdőlap


Feladat:	F.2792	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakos Tamás , Bánfalvi Koppány , Barabás Gyula , Bernáth Csaba , Borásnyi Ákos , Csekő Zoltán , Csergőffy Tibor , Csinos Richárd , Czirók András , Egyedi Péter , Erben Péter , Faragó Éva , Fehér András , Futó Tibor , Fügedi Zsolt , Gáspár András , Hajnal József , Harcos Gergely , Imreh Csanád , Kiss István , Kórász Tamás , Kőrösi Attila , Kovács Ágnes , Kovács Péter , Kovács Vera , Kún Gábor , Kökényesi László , Lente Gábor , Magó Kálmán , Magyar László , Medgyesi Domonkos , Miklós György , Moksony István , Molnár László , Pacher László , Papolczy Péter , Pócs Miklós , Podoski Károly , Pór Attila , Sági Zoltán , Székely-Doby András , Szendrői Balázs , Szenn Gábor , Turányi Zoltán , Újváry-Menyhárt Zoltán , Virág Bálint , Weisz Csaba
Füzet:	1990/november, 382 - 383. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt háromszög, Pont körüli forgatás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Téglalapok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: F.2792

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy a téglalapba egy szabályos háromszög beírható az előírt módon.

1. ábra

Az 1. ábra jelöléseit használva

b = d \cdot cos α

és

a = d \cdot cos (30^{\circ} - α)

, ahol

0 \leq α \leq 30^{\circ}

. E két egyenletből

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{cos (30^{\circ} - α)}{cos α} . \end{matrix}

(1)

A jobb oldalt átalakítva:

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot tg α . \end{matrix}

(2)

α

-ra vonatkozó feltételek alapján

0 \leq tg α \leq \frac{1}{\sqrt[]{3}}

, és így

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{3}}{2} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{\sqrt[]{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{3}} = \frac{2}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

(3)

A B C D

téglalapba tehát csak akkor írható a kívánt módon szabályos háromszög, ha a téglalap oldalainak arányára a (3) feltétel teljesül.
Megfordítva: Mivel

tg α

folytonos, minden olyan esetben, amikor (3) teljesül, lesz olyan

α

, amelyre fennáll (2) és (1), és így lesz olyan

d

pozitív valós szám, amelyre

a = d \cdot cos (30^{\circ} - α)

és

b = d \cdot cos α

.
Ekkor

d

A B C D

téglalapba a kívánt módon beírt szabályos háromszög oldalának a hossza.

Podoski Károly (Bp., Árpád Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Tegyük fel először, hogy

a \geq b

. Ha az 1. ábra

A P Q

szabályos háromszögének a

P

csúcsát

A

körül pozitív irányban

60^{\circ}

-kal elforgatjuk,

P

Q

-ba megy át. Ezért a szabályos háromszög a kívánt módon pontosan akkor írható a téglalapba, ha a

B C

szakasz

A

körüli

60^{\circ}

-os elforgatottjának van közös pontja a

D C

szakasszal. A 2. ábra alapján láthatjuk, hogy ez éppen akkor következik be, ha

A R \geq a

2. ábra

Az ábra

A B' R

háromszögéből

\begin{matrix} A R = \frac{b}{cos 30^{\circ}} = \frac{2 b}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Így a keresett feltétel:

\begin{matrix} a \leq \frac{2 b}{\sqrt[]{3}}, amiböl \frac{a}{b} \leq \frac{2}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

(1)

Mivel a téglalap oldalai különböző hosszúságúak lehetnek és szerepük szimmetrikus, a

b > a

esetben az előbbihez hasonlóan fenn kell állnia, hogy

\begin{matrix} \frac{b}{a} \leq \frac{2}{\sqrt[]{3}} \end{matrix}

(2)

(1) és (2) alapján

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{3}}{2} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{2}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Kún Gábor (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A II. megoldás módszere működik olyan egyenlő szárú háromszög beírása esetére is, ahol a szárak közös pontja az

A

, a szárak közötti szög pedig

φ

, és

φ \leq 90^{\circ}

. Ekkor a keresett feltétel:

\begin{matrix} sin φ \leq \frac{a}{b} \leq \frac{1}{sin φ} . \end{matrix}