Feladat: F.2792 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bakos Tamás ,  Bánfalvi Koppány ,  Barabás Gyula ,  Bernáth Csaba ,  Borásnyi Ákos ,  Csekő Zoltán ,  Csergőffy Tibor ,  Csinos Richárd ,  Czirók András ,  Egyedi Péter ,  Erben Péter ,  Faragó Éva ,  Fehér András ,  Futó Tibor ,  Fügedi Zsolt ,  Gáspár András ,  Hajnal József ,  Harcos Gergely ,  Imreh Csanád ,  Kiss István ,  Kórász Tamás ,  Kőrösi Attila ,  Kovács Ágnes ,  Kovács Péter ,  Kovács Vera ,  Kún Gábor ,  Kökényesi László ,  Lente Gábor ,  Magó Kálmán ,  Magyar László ,  Medgyesi Domonkos ,  Miklós György ,  Moksony István ,  Molnár László ,  Pacher László ,  Papolczy Péter ,  Pócs Miklós ,  Podoski Károly ,  Pór Attila ,  Sági Zoltán ,  Székely-Doby András ,  Szendrői Balázs ,  Szenn Gábor ,  Turányi Zoltán ,  Újváry-Menyhárt Zoltán ,  Virág Bálint ,  Weisz Csaba 
Füzet: 1990/november, 382 - 383. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt háromszög, Pont körüli forgatás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Téglalapok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/március: F.2792

Milyen feltételek mellett írható az ABCD téglalapba olyan szabályos háromszög, amelynek egyik csúcsa A, a másik két csúcsa a BC, illetve CD oldalra illeszkedik?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy a téglalapba egy szabályos háromszög beírható az előírt módon.

 
 

1. ábra
 

Az 1. ábra jelöléseit használva b=dcosα és a=dcos(30-α), ahol 0α30. E két egyenletből
ab=cos(30-α)cosα.(1)
A jobb oldalt átalakítva:
ab=32+12tgα.(2)
Az α-ra vonatkozó feltételek alapján 0tgα13, és így
32ab32+1213=23.(3)

Az ABCD téglalapba tehát csak akkor írható a kívánt módon szabályos háromszög, ha a téglalap oldalainak arányára a (3) feltétel teljesül.
Megfordítva: Mivel tgα folytonos, minden olyan esetben, amikor (3) teljesül, lesz olyan α, amelyre fennáll (2) és (1), és így lesz olyan d pozitív valós szám, amelyre a=dcos(30-α) és b=dcosα.
Ekkor d az ABCD téglalapba a kívánt módon beírt szabályos háromszög oldalának a hossza.
 

Podoski Károly (Bp., Árpád Gimn., IV. o. t.)
 

II. megoldás. Tegyük fel először, hogy ab. Ha az 1. ábra APQ szabályos háromszögének a P csúcsát A körül pozitív irányban 60-kal elforgatjuk, P a Q-ba megy át. Ezért a szabályos háromszög a kívánt módon pontosan akkor írható a téglalapba, ha a BC szakasz A körüli 60-os elforgatottjának van közös pontja a DC szakasszal. A 2. ábra alapján láthatjuk, hogy ez éppen akkor következik be, ha ARa.
 
 

2. ábra
 

Az ábra AB'R háromszögéből
AR=bcos30=2b3.


Így a keresett feltétel:
a2b3,amibölab23.(1)
Mivel a téglalap oldalai különböző hosszúságúak lehetnek és szerepük szimmetrikus, a b>a esetben az előbbihez hasonlóan fenn kell állnia, hogy
ba23(2)
(1) és (2) alapján
32ab23.

Kún Gábor (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

 
Megjegyzés. A II. megoldás módszere működik olyan egyenlő szárú háromszög beírása esetére is, ahol a szárak közös pontja az A, a szárak közötti szög pedig φ, és φ90. Ekkor a keresett feltétel:
sinφab1sinφ.