|
Feladat: |
F.2786 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Kálmán Tamás , Kiss István , Podoski Károly , Pór Attila , Ujváry-Menyhárt Zoltán |
Füzet: |
1991/február,
66 - 67. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kör, mint kúpszelet, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/február: F.2786 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Keressük először a kör és az ellipszis közös pontjait az egyenesnek abban a félsíkjában, amelyben a kör középpontja is van.
Használjuk az ábra jelöléseit. Tegyük fel, hogy egy közös pont. Mérjük fel -ből az vezérsugárra a nagytengely hosszúságát; ezzel . Minthogy ekkor (hiszen az ellipszis definíciója alapján teljesül), a háromszög egyenlő szárú, és így -nél és -nél lévő szöge , a -nál lévő kerületi szögnek a fele. Rajzoljunk körül sugarú kört. Ennek a körnek az húrhoz tartozó középponti szöge , ez a kör tehát átmegy az ponton. Ezért a szerkesztést úgy végezhetjük el, hogy megrajzoljuk a középpontú, sugarú kört, és ezt elmetsszük az középpontú, sugarú körrel. A kapott és metszéspontokat -gyel összekötve megkapjuk a kör és az ellipszis , illetve metszéspontját. Ugyanilyen szerkesztéssel, az adott körben -nél lévő kerületi szöggel kaphatjuk meg az egyenes másik félsíkjában lévő közös pontokat. A metszéspontok száma bármelyik félsíkban , vagy lehet, aszerint, hogy milyen az pontra illeszkedő körök kölcsönös helyzete. A diszkussziót analitikusan is megfogalmazhatjuk a következőképpen: Az háromszögnek ismerjük két oldalát és a kisebbikkel szemközti szögét. Ezekből az adatokból a háromszög megszerkeszthető, és a megoldhatóság feltétele: és természetesen . Ha , akkor a pontban metszi az adott kört, és egy közös pont lesz. Hasonló feltétel adható az másik félsíkjában lévő közös pontokra.
Kálmán Tamás (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.) |
|