Kezdőlap


Feladat:	F.2786	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kálmán Tamás , Kiss István , Podoski Károly , Pór Attila , Ujváry-Menyhárt Zoltán
Füzet:	1991/február, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör, mint kúpszelet, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/február: F.2786

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Keressük először a kör és az ellipszis közös pontjait az $F_{1} F_{2}$ egyenesnek abban a félsíkjában, amelyben a kör $O$ középpontja is van.

Használjuk az ábra jelöléseit. Tegyük fel, hogy

Q

egy közös pont. Mérjük fel

F_{1}

-ből az

F_{1} Q

vezérsugárra a nagytengely

2 a

hosszúságát; ezzel

F_{1} R = 2 a

. Minthogy ekkor

Q R = Q F_{2}

(hiszen

F_{1} Q + Q F_{2} = 2 a

az ellipszis definíciója alapján teljesül), a

Q R F_{2}

háromszög egyenlő szárú, és így

F_{2}

-nél és

R

-nél lévő szöge

\frac{α}{2}

, a

Q

-nál lévő kerületi szögnek a fele. Rajzoljunk

T

körül

T F_{1} = T F_{2}

sugarú kört. Ennek a körnek az

F_{1} F_{2}

húrhoz tartozó középponti szöge

α

, ez a kör tehát átmegy az

R

ponton. Ezért a szerkesztést úgy végezhetjük el, hogy megrajzoljuk a

T

középpontú,

T F_{2}

sugarú kört, és ezt elmetsszük az

F_{1}

középpontú,

2 a

sugarú körrel. A kapott

R

és

R'

metszéspontokat

F_{1}

-gyel összekötve megkapjuk a kör és az ellipszis

Q

, illetve

P

metszéspontját.
Ugyanilyen szerkesztéssel, az adott körben

S

-nél lévő

180^{\circ} - α

kerületi szöggel kaphatjuk meg az

F_{1} F_{2}

egyenes másik félsíkjában lévő közös pontokat.
A metszéspontok száma bármelyik félsíkban

0

1

vagy

2

lehet, aszerint, hogy milyen az

R

pontra illeszkedő körök kölcsönös helyzete. A diszkussziót analitikusan is megfogalmazhatjuk a következőképpen: Az

F_{1} R F_{2}

háromszögnek ismerjük két oldalát és a kisebbikkel szemközti szögét. Ezekből az adatokból a háromszög megszerkeszthető, és a megoldhatóság feltétele:

\begin{matrix} 2 a \cdot sin \frac{α}{2} ≦ F_{1} F_{2}, \end{matrix}

és természetesen

F_{1} F_{2} < 2 a

.
Ha

2 a \cdot sin \frac{α}{2} = F_{1} F_{2}

, akkor

F_{1} R

T

pontban metszi az adott kört, és egy közös pont lesz. Hasonló feltétel adható az

F_{1} F_{2}

másik félsíkjában lévő közös pontokra.

Kálmán Tamás (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)