Feladat: F.2786 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kálmán Tamás ,  Kiss István ,  Podoski Károly ,  Pór Attila ,  Ujváry-Menyhárt Zoltán 
Füzet: 1991/február, 66 - 67. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör, mint kúpszelet, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/február: F.2786

Egy kör két adott pontja, F1 és F2 egy ellipszis két fókusza, és adott az ellipszis nagytengelye is. Szerkesszük meg a kör és az ellipszis metszéspontjait.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Keressük először a kör és az ellipszis közös pontjait az F1F2 egyenesnek abban a félsíkjában, amelyben a kör O középpontja is van.

 
 

Használjuk az ábra jelöléseit. Tegyük fel, hogy Q egy közös pont. Mérjük fel F1-ből az F1Q vezérsugárra a nagytengely 2a hosszúságát; ezzel F1R=2a. Minthogy ekkor QR=QF2 (hiszen F1Q+QF2=2a az ellipszis definíciója alapján teljesül), a QRF2 háromszög egyenlő szárú, és így F2-nél és R-nél lévő szöge α2, a Q-nál lévő kerületi szögnek a fele. Rajzoljunk T körül TF1=TF2 sugarú kört. Ennek a körnek az F1F2 húrhoz tartozó középponti szöge α, ez a kör tehát átmegy az R ponton. Ezért a szerkesztést úgy végezhetjük el, hogy megrajzoljuk a T középpontú, TF2 sugarú kört, és ezt elmetsszük az F1 középpontú, 2a sugarú körrel. A kapott R és R' metszéspontokat F1-gyel összekötve megkapjuk a kör és az ellipszis Q, illetve P metszéspontját.
Ugyanilyen szerkesztéssel, az adott körben S-nél lévő 180-α kerületi szöggel kaphatjuk meg az F1F2 egyenes másik félsíkjában lévő közös pontokat.
A metszéspontok száma bármelyik félsíkban 0, 1 vagy 2 lehet, aszerint, hogy milyen az R pontra illeszkedő körök kölcsönös helyzete. A diszkussziót analitikusan is megfogalmazhatjuk a következőképpen: Az F1RF2 háromszögnek ismerjük két oldalát és a kisebbikkel szemközti szögét. Ezekből az adatokból a háromszög megszerkeszthető, és a megoldhatóság feltétele:
2asinα2F1F2,
és természetesen F1F2<2a.
Ha 2asinα2=F1F2, akkor F1R a T pontban metszi az adott kört, és egy közös pont lesz. Hasonló feltétel adható az F1F2 másik félsíkjában lévő közös pontokra.
 

 Kálmán Tamás (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)