Jelöljünk ki az egységkör kerületén egy $K$ kezdőpontot. A kör minden $X$ pontját megfeleltethetjük annak a nemnegatív és $2\pi$-nél kisebb $x$ valós számnak, amelyre $XOK\sphericalangle =x$ (ahol $O$ az egységkör középpontja). Jelöljük $K\text{'}$-vel $K$ átellenes pontját a körön. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges $X$ kerületi pontra az $XK$ és az $XK\text{'}$ ívtávolságok összege éppen $\pi$ (a rövidebb $XK$ ív és a rövidebb $XK\text{'}$ ív együtt éppen az egyik $KK\text{'}$ félkörívet adja és $X$-en kívül nincs közös pontjuk. Ha tehát két átellenes pontot adunk meg a kör kerületén, akkor a körkerület tetszőleges pontjának e két ponttól vett ívtávolság-átlaga $\frac{\pi }{2}$. A feladatban szereplő $\alpha$ értéke így csak $\alpha =\frac{\pi }{2}$ lehet. (Megjegyezzük, hogy ha $n$ páros, és az $n$ pontot úgy adjuk meg a kerületen, hogy egy szabályos $n$-szög csúcsai legyenek, akkor is igaz, hogy a körkerület minden pontjának az $n$ ponttól vett ívtávolság-átlaga $\frac{\pi }{2}$, hiszen az $n$ pont tükrös a kör középpontjára.)
Most megmutatjuk, hogy ha $B_1$, $B_2$, $\text{...}$, $B_n$ tetszőleges pontok a körön, mindig található ott olyan $X$ pont, amelynek a $B_i$ pontoktól vett ívtávolság-átlaga pontosan $\frac{\pi }{2}$. Jelöljük $f_i\left(x\right)$-szel annak az $X$ pontnak $B_i$-től vett ívtávolságát, amelyre $XOK\sphericalangle =x$. Ha $x$ végigfut a $0^{\circ }\le x\le \pi$ zárt intervallumon, akkor a megfelelő $X$ pont végigfut a ,,pozitív'' félsíkba eső $KK\text{'}$ félköríven. Eközben $f_i\left(x\right)$ folytonosan változik. Ha ugyanis $B_i$ a ,,pozitív'' félsíkban van, akkor $f_i\left(x\right)=|x-b_i|$, ahol $b_i=B_{i}OK\sphericalangle$, $\left(0^{\circ }\le b_i\le \pi \right)$, ha pedig a ,,negatív'' félsíkban van, akkor $f_i\left(x\right)=\pi -|\pi +x-b_i|$; $f_i$ tehát valóban folytonos függvény.
Egy $X$ pontnak a $B_1$, $B_2$, $\text{...}$, $B_n$ pontoktól vett ívtávolság-átlaga nyilván