Kezdőlap


Feladat:	F.2777	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bagyinszky R. , Balogh 171 J. , Bánfalvi K. , Benczúr P. , Borsányi Ágnes , Harcos G. , Harcos Gergely , Horváth I. , Imreh Cs. , Kiss 128 I. , Kórász T. , Kovács 113 Vera , Kovács 271 Ágnes , Kovács F. , Kullmann T. , Maróti M. , Mucsi Zsuzsa , Nagy 142 Á. , Nagy 999 Judit , Orbán I. , Papolczy P. , Podoski Károly. , Pór A. , Sági Z. , Szalkai Á. , Székely-Doby A. , Szekeres B. , Tokodi T. , Turányi Z. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Virág B. , Wiener G.
Füzet:	1990/november, 374. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Részhalmazok, Négyzetszámok összege, Maradékos osztás, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/január: F.2777

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első $n$ négyzetszámnak az $1^{2}$ , $2^{2}$ , $...$ , $n^{2}$ számokat tekintjük. Az első $n$ négyzetszám összege $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ; és ha $n = 4 k + 1$ vagy $4 k + 2$ alakú, akkor ez a szám páratlan, így ilyenkor biztosan nem osztható két egyenlő összegű csoportba az első $n$ négyzetszám. Próbálgatással látható, hogy ez $n = 3$ , $4$ esetén sem lehetséges. Beosztható viszont $n = 7$ , $8$ , $11$ , $12$ esetén, hiszen $1^{2} + 2^{2} + 4^{2} + 7^{2} = 3^{2} + 5^{2} + 6^{2}$ , $1^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 7^{2} = 2^{2} + 3^{3} + 5^{2} + 8^{2}$ , $1^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 9^{2} + 11^{2} = 2^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 10^{2}$ , és $1^{2} + 3^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 9^{2} + 11^{2} = 2^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 10^{2} + 12^{2}$ . Másrészt az ${(n + 1)}^{2} - n^{2} = 2 n + 1$ , és ${(n + 3)}^{2} - {(n + 2)}^{2} = 2 n + 5$ azonosságokból adódik, hogy

\begin{matrix} {(n + 3)}^{2} - {(n + 2)}^{2} - {(n + 1)}^{2} + n^{2} = 4 = {(n + 7)}^{2} - {(n + 6)}^{2} - {(n + 5)}^{2} + {(n + 4)}^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} n^{2} + {(n + 3)}^{2} + {(n + 5)}^{2} + {(n + 6)}^{2} = {(n + 1)}^{2} + {(n + 2)}^{2} + {(n + 4)}^{2} + {(n + 7)}^{2}; \end{matrix}

vagyis nyolc egymás utáni négyzetszám mindig két csoportba osztható úgy, hogy az azonos csoportbeliek összege egyenlő legyen. Így az is igaz, hogy ha az első

n

négyzetszám két egyenlő összegű csoportba osztható, akkor az első

n + 8

is. Ebből viszont következik, hogy minden

8 k + 7

8 k + 8

8 k + 11

8 k + 12

alakú

n

-re

(k \geq 0)

az első

n

négyzetszám két egyenlő összegű csoportba osztható. Tehát

k \geq 1

esetén minden

4 k + 3

és

4 k + 4

alakú

n

-re két egyenlő összegű csoportba sorolható az első

n

négyzetszám (mégpedig úgy, hogy mind a két csoportba ugyanannyi, vagy egy híján ugyanannyi szám kerül) más

n

-ekre pedig nem.

Harcos Gergely (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)