Kezdőlap


Feladat:	F.2775	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács 271 Ágnes , Podoski Károly. , Pór Attila
Füzet:	1990/november, 372 - 373. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyenes körkúpok, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/december: F.2775

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a kúp csúcsa $C$ , az ellipszis nagytengelye $A B = 2 a$ , a kistengely $2 b$ , a fókuszok $F_{1}$ és $F_{2}$ , $F_{1} F_{2} = 2 c$ , a leghosszabb alkotó $A C$ , a legrövidebb $B C$ . Szerkesszük meg azt a két gömböt, amelyek érintik a kúpfelület minden alkotóját és az ellipszis síkját. Ezek az úgynevezett Dandelin-gömbök a metsző síkot az ellipszis fókuszaiban érintik. (Ennek a ténynek a bizonyítását megtalálhatjuk Hajós György: Bevezetés a geometriába című könyvének 398. oldalán, vagy a gimnáziumi fakultatív B változatú Matematika IV. tankönyv ‐ szerzője Hajnal Imre ‐ 462. oldalán.)

1. ábra

Az ellipszis tengelyeire fennáll, hogy

\begin{matrix} {(2 b)}^{2} = {(2 a)}^{2} - {(2 c)}^{2} . \end{matrix}

(1)

A feladat állítását úgy mutatjuk meg, hogy kiszámítjuk (1) jobb oldalának két tagját. A koszinusztétel szerint

\begin{matrix} {(2 a)}^{2} = A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - A C \cdot B C . \end{matrix}

(2)

Az 1. ábra jelölései szerint, felhasználva, hogy a körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak,

\begin{matrix} 2 c = B F_{2} - B F_{1} = B H - A F_{2} = (C H - B C) - (C K - A C) = A C - B C . \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} {(2 c)}^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C . \end{matrix}

(3)

(2) és (3) összevetésével

\begin{matrix} {(2 a)}^{2} - {(2 c)}^{2} = A C \cdot B C, \end{matrix}

ahonnan (1) szerint valóban

\begin{matrix} {(2 b)}^{2} = A C \cdot B C . \end{matrix}

Pór Attila (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

megoldása nyomán

2. ábra

II. megoldás. A 2. ábrán

A B

az ellipszis nagytengelye,

O

a középpontja. Használjuk az ábra további jelöléseit is. Tekintsük a

B

-n,

O

-n, ill.

A

-n átmenő, a forgáskúp tengelyére merőleges síkokat. Ezek a síkok a kúpfelületet körökben metszik, és az

O_{1} O_{2}

átmérőjű körnek az

O

ponton átmenő,

O_{1} O_{2}

-re merőleges húrja éppen az ellipszis

2 b

kistengelye. A magasságtétel szerint

b

mértani közepe az

O_{1} O

O_{2} O

szakaszoknak, azaz

\begin{matrix} b^{2} = O_{1} O \cdot O_{2} O . \end{matrix}

(4)

Mivel

O

A B

felezőpontja, ezért

\begin{matrix} O_{1} O = \frac{B B_{1}}{2} = \frac{B C}{2}, O_{2} O = \frac{A A_{1}}{2} = \frac{A C}{2}, \end{matrix}

tehát (4)-ből

\begin{matrix} A C \cdot B C = 4 \cdot O_{1} O \cdot O_{2} O = 4 b^{2} . \end{matrix}