Kezdőlap


Feladat:	F.2751	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benczúr P. , Benkő D. , Berzéthy P. , Bíró N. , Boda Z. , Elbert Judit , Endrey B. , Gránicz J. , Harcos G. , Jakab T. , Kocsor A. , Kovács 271 Ágnes , Kovács 998 P. , Macskási Zs. , Mag Gy. , Mezei J. , Parádi Cs. , Peták A. , Podoski Károly. , Schulz J. , Siklér F. , Sustik M. , Szamuely T. , Szemerédi F. , Tokodi T. , Tóth 509 P. Z. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Zircher P.
Füzet:	1989/december, 454 - 455. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Geometriai egyenlőtlenségek, Körülírt kör, Beírt kör, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/május: F.2751

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell belátnunk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2,2} ≧ \frac{r}{R}, \end{matrix}

(1)

Jelöljük a harmadik oldalt

c

-vel, és használjuk fel a háromszög területének kiszámítására vonatkozó

\begin{matrix} t = r \cdot s = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 R} formulákat, valamint a \end{matrix}

Heron-képletet:

\begin{matrix} \frac{r}{R} = \frac{\frac{t}{s}}{\frac{a \cdot b \cdot c}{4 t}} = \frac{4 t^{2}}{a \cdot b \cdot c \cdot s} = \frac{4 (s - a) (s - b) (s - c)}{a \cdot b \cdot c} = \frac{(c - 5) (c + 5) (27 - c)}{2 \cdot 16 \cdot 11 \cdot c} . \end{matrix}

Ezzel (1) a következőképpen alakul:

\begin{matrix} \frac{5}{11} ≧ \frac{(c^{2} - 25) (27 - c)}{32 \cdot 11 \cdot c} . \end{matrix}

Az egyenlőtlenséget rendezve azt kell megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} c^{3} - 27 c^{2} + 135 c + 675 ≧ 0, azaz \\ {(c - 15)}^{2} (c + 3) ≧ 0, & (2) \end{matrix}

ami már nyilvánvaló.
Azt is láthatjuk, hogy egyenlőség csak

c = 15

esetén lehet. A háromszög-egyenlőtlenség szerint:

16 - 11 < c < 16 + 11

, tehát a háromszög pontosan akkor létezik, ha

5 < c < 27

.
Mivel átalakításaink megfordíthatóak, (2) ekvivalens (1)-gyel, így a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. A megoldások egy része feleslegesen sok számolást tartalmaz. Mint a fenti megoldás mutatja, nincs szükség deriválásra sem. Viszont szokás megállapítani, mikor áll fenn egyenlőség. Akik ezt elmulasztották csak 4 pontot kaptak.