|
Feladat: |
F.2749 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Benkő Dávid , Botrágyi T. , Eiben P. , Endrey B. , Gőry Cs. , Harcos G. , Kocsor A. , Lois L. , Máté Nóra , Peták A. , Podoski Károly. , Sági Z. , Sustik M. , Szekeres B. , Tóth P. |
Füzet: |
1989/december,
453 - 454. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Alakzatba írt kör, Geometriai egyenlőtlenségek, Terület, felszín, Érintősokszögek, Szabályos sokszögek geometriája, Alakzatok köré írt kör, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/május: F.2749 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Húzzuk meg a körnek a csúcsokhoz tartozó érintőit. Ezek az érintők az sugarú kör köré írt szabályos -szög oldalegyenesei. Állítsunk merőlegeseket -ből ezekre az oldalegyenesekre, és legyenek a talppontok , , , .
Fejezzük ki az érintősokszög területét kétféleképpen, éspedig úgy, hogy a sokszöget csúcsú, illetve csúcsú háromszögekre bontjuk ‐ ahol a kör középpontja ‐ és mindegyik háromszög alapja a körülírt sokszög egy-egy oldala. Jelöljük a körülírt sokszög oldalát -val, ekkor a kétszeres területe:
A esetleg elfajuló derékszögű háromszögben | | (3) | ezért (1) alapján amint ezt bizonyítani kellett. Világos, hogy (3)-ban és (4)-ben csak akkor lehet egyenlőség, ha (2)-ben az , , , esetek mindegyikére egyenlőség érvényes ; ez pedig nyilván csak akkor következik be, ha egybeesik a kör középpontjával. Megjegyzés. Ha páros, a feladat állítása egyszerűbben is belátható. Nyilvánvaló ugyanis, hogy ha és átellenes csúcsok, akkor Az összes különböző ilyen egyenlőtlenséget összegezve kapjuk a bizonyítandó állítást. Benkő Dávid (Bp., Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján
|
|