Kezdőlap


Feladat:	F.2749	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benkő Dávid , Botrágyi T. , Eiben P. , Endrey B. , Gőry Cs. , Harcos G. , Kocsor A. , Lois L. , Máté Nóra , Peták A. , Podoski Károly. , Sági Z. , Sustik M. , Szekeres B. , Tóth P.
Füzet:	1989/december, 453 - 454. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatba írt kör, Geometriai egyenlőtlenségek, Terület, felszín, Érintősokszögek, Szabályos sokszögek geometriája, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/május: F.2749

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Húzzuk meg a körnek a csúcsokhoz tartozó érintőit. Ezek az érintők az $r$ sugarú kör köré írt szabályos $n$ -szög oldalegyenesei. Állítsunk merőlegeseket $P$ -ből ezekre az oldalegyenesekre, és legyenek a talppontok $B_{1}$ , $B_{2}$ , $...$ , $B_{n}$ .

Fejezzük ki az érintősokszög területét kétféleképpen, éspedig úgy, hogy a sokszöget

P

csúcsú, illetve

O

csúcsú háromszögekre bontjuk ‐ ahol

O

a kör középpontja ‐ és mindegyik háromszög alapja a körülírt sokszög egy-egy oldala. Jelöljük a körülírt sokszög oldalát

a

-val, ekkor a kétszeres területe:

\begin{matrix} a \cdot P B_{1} + a \cdot P B_{2} + ... + a \cdot P B_{n} = n \cdot a \cdot r, így \\ P B_{1} + P B_{2} + ... + P B_{n} = n \cdot r . & (1) \end{matrix}

P A_{i} B_{i}

(i = 1,2, ..., n)

esetleg elfajuló derékszögű háromszögben

\begin{matrix} P A_{i} ≧ P B_{i}, tehát \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} P A_{1} + P A_{2} + ... + P A_{n} ≧ P B_{1} + P B_{2} + ... + P B_{n}, \end{matrix}

(3)

ezért (1) alapján

\begin{matrix} P A_{1} + P A_{2} + ... + P A_{n} ≧ n \cdot r, \end{matrix}

(4)

amint ezt bizonyítani kellett.
Világos, hogy (3)-ban és (4)-ben csak akkor lehet egyenlőség, ha (2)-ben az

i = 1

2

...

n

esetek mindegyikére egyenlőség érvényes ; ez pedig nyilván csak akkor következik be, ha

P

egybeesik a kör középpontjával.

Megjegyzés. Ha

n

páros, a feladat állítása egyszerűbben is belátható. Nyilvánvaló ugyanis, hogy ha

A_{i}

és

A_{k}

átellenes csúcsok, akkor

\begin{matrix} P A_{i} + P A_{k} ≧ 2 r . \end{matrix}

Az összes különböző ilyen egyenlőtlenséget összegezve kapjuk a bizonyítandó állítást.

Benkő Dávid (Bp., Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján