|
Feladat: |
F.2744 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh 171 J. , Benczúr P. , Boda Z. , Bokor P. , Csikász T. , Farkas Judit , Harcos G. , Hausel T. , Hídvégi Z. , Kovács 998 P. , Lois L. , Macskási Zs. , Mezei J. , Mohai Zsuzsa , Nagy 124 G. , Oláh G. , Papp 613 F. , Peták A. , Podoski Károly. , Stojan R. , Sustik M. , Szabó 972 S. , Szekeres B. , Szemerédi F. , Tokodi T. , Tóth 509 P. Z. , Tuba J. , Weisz Cs. |
Füzet: |
1989/december,
450 - 451. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szélsőérték differenciálszámítással, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Beírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/április: F.2744 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a háromszögbe írt kör középpontja , sugara , és használjuk az ábra további jelöléseit is.
Az ábra alapján rögtön láthatjuk, hogy továbbá Vizsgáljuk értékét függvényeként. Ez a függvény a intervallumban folytonos, tehát ott van maximuma. Tekintve, hogy a függvény az intervallum végpontjaiban zérus, egyéb helyeken pedig pozitív, maximumát a nyílt intervallumban veszi fel. Világos, hogy deriválható függvénye -nak, ezért a keresett maximum olyan helyen lehet, ahol . Deriválás előtt fenti kifejezését kissé átalakítjuk. Ehhez felhasználjuk a és a azonosságokat. | |
A derivált: Az előbb használt azonosságok közül az elsőt ismét alkalmazva: A szélsőérték helyét így a egyenletből kaphatjuk meg, azaz: innen Mivel , , s így a háromszög alapja . A függvény a szóban forgó intervallumban kölcsönösen egyértelmű, ezért egyetlen olyan létezik, amely mellett maximális. (Azt, hogy létezik ilyen , korábban már megindokoltuk.) Nézzük ezután az alapra rajzolt és a szárakat érintő félkört. Ennek sugara . A feladat második állítása azt jelenti, hogy a maximális mellett . Tudjuk, hogy a maximális értékhez tartozó -ra fennáll (1), azaz | | Ennek az egyenletnek mindkét oldalát -val szorozva : Az ábráról könnyen leolvasható, hogy és , ezért (2) éppen azt jelenti, hogy . |
|