Kezdőlap


Feladat:	F.2743	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1989/december, 449 - 450. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/április: F.2743

A B C

háromszög

C

-ből induló belső szögfelezője az

A B

oldalt a

D

pontban metszi. Legyen a

C D

-re

D

-ben állított merőleges és a

C A

egyenes metszéspontja

E

. Bizonyítsuk be, hogy a

C E

szakasz harmonikus közepe

C A

-nak és

C B

-nek.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Mivel az $A B C$ háromszög területe az $A D C$ és a $B C D$ háromszögek területének összege, ezért

\begin{matrix} a b \cdot sin γ = a \cdot f_{c} \cdot sin \frac{γ}{2} + b \cdot f_{c} \cdot sin \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Ebből

(felhasználva, hogy sin

γ = 2 \cdot sin \frac{γ}{2} cos \frac{γ}{2}

\begin{matrix} f_{c} = \frac{2 a b}{a + b} \cdot cos \frac{γ}{2} . \end{matrix}

E D C

derékszögű háromszögből viszont

C E = \frac{f_{c}}{cos \frac{γ}{2}}

, innen pedig

f_{c}

előbbi kifejezésével

\begin{matrix} C E = \frac{2 a b}{a + b} = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}, \end{matrix}

és ezt kellett bizonyítanunk.

Megjegyzés: A feladat megoldása egyszerű módszert nyújt két szakasz harmonikus közepének megszerkesztésére.