Feladat: F.2743 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1989/december, 449 - 450. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/április: F.2743

Az ABC háromszög C-ből induló belső szögfelezője az AB oldalt a D pontban metszi. Legyen a CD-re D-ben állított merőleges és a CA egyenes metszéspontja E. Bizonyítsuk be, hogy a CE szakasz harmonikus közepe CA-nak és CB-nek.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Mivel az ABC háromszög területe az ADC és a BCD háromszögek területének összege, ezért

absinγ=afcsinγ2+bfcsinγ2.
 
 


Ebből (felhasználva, hogy sin γ=2sinγ2cosγ2),
fc=2aba+bcosγ2.
Az EDC derékszögű háromszögből viszont CE=fccosγ2, innen pedig fc előbbi kifejezésével
CE=2aba+b=21a+1b,
és ezt kellett bizonyítanunk.
 

Megjegyzés: A feladat megoldása egyszerű módszert nyújt két szakasz harmonikus közepének megszerkesztésére.