A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen zárt halmaz, és tegyük fel, hogy . Ekkor minden elemével annak kétszerese is -ban van. Ha ugyanis , és ‐ amit a feladat szövege megenged! ‐ akkor vagy , vagy -ban van, de az utóbbit kizártuk. Tehát ha , és zárt, akkor vagy üres, vagy minden elemének kétszeresét is tartalmazza, tehát végtelen halmaz, de a feladat feltétele mindkét esetet kizárja. Legyen ezek után egy nem üres, elemű zárt halmaz. Az előbbiek szerint ekkor . Legyenek elemei rendre: . 1 . Belátjuk, hogy ha , akkor . Ha , akkor , tehát az összeg már nincs benne -ban. zártsága miatt van -ban. Ha , akkor szintén -ban van. Tehát az elemű | | sorozat is elemeit sorolja fel nagyság szerint, ezért
ahogy állítottuk. 2. Most belátjuk, hogy ha és , akkor . Tekintsük először esetén az összeget. Ez nagyobb az összegnél , amely viszont a fentiek szerint. Így az összeg nincs benne -ban, ezért az különbségnek kell -ban lennie (most használtuk ki az feltételt). Nézzük az elemű | | sorozatot; ez csupa -beli elemből áll. Az itteni utolsó elem, kisebb -nél, amiről az 1. pontban beláttuk, hogy . A felsorolás tehát a halmazból -nél kisebb elemeket sorol fel nagyság szerint, ezekből azonban éppen darab van. Tehát
Látszólag készen vagyunk: ha , akkor . Ha , akkor . Végül, ha , akkor azt kell belátnunk, hogy , ami a fenti egyenlőségsorozat második helyén áll. Igen ám, de ez a második egyenlőség csak esetén szerepel, azaz ha . Amikor , akkor csak a semmitmondó -ból áll a fenti egyenlőségsorozat, esetén pedig egyenlőséget sem kapunk! De esetén valóban minden esetén megkaptuk a kívánt állítást. 3. Most már az esetben hamar célba érünk. Tekintsük ugyanis -re az különbségét! Itt , az 1. pont szerint, és , a 2. pont szerint. Ezért . Innen pedig nyilvánvaló, hogy esetén , azaz minden -re . De -ra , ezért alakú. Ha tehát , azaz legalább ötelemű, akkor alakú. 4. Tekintsük most az eseteket. Ha , akkor . Ha , akkor . Ha pedig , akkor az 1. pont szerint , tehát . Ezzel a bizonyítást befejeztük. Megjegyezzük, hogy ha -nak éppen négy eleme van, akkor az 1. pont szerint (az 1. pont más érdemlegeset nem mond, a 2. pont pedig nem igaz.). Másrészt minden pozitív esetén a négyelemű halmaz valóban zárt és ha , akkor nem alakú. Könnyen ellenőrizhető, hogy ebben az esetben a 2. pont állítása valóban nem teljesül, hiszen az helyettesítéssel megkívánná, hogy legyen. Nem "ügyetlenségből'' kellett tehát a 2. pontban az megkötést tennünk. Máté Nóra (Bp., Fazekas M. Gimn., IV. o. t.) Megjegyzések. 1. Sokan nem vették észre, hogy a feladat szövegében és -ról csak annyit tettünk fel, hogy elemei, tehát egyenlők is lehetnek. Enélkül a feladat állítását megcáfolni vélték. Valóban: ha csak annyit kötünk ki -ról, hogy bármely két különböző elemével azok összegét, vagy különbségük abszolutértékét is tartalmazza, akkor bármely pozitív -re az és az halmazok is megfelelnének. Könnyű meggondolni, hogy több ellenpélda viszont akkor sincs, hiszen ha egy ilyen tulajdonságú halmazhoz hozzávesszük a nullát, akkor zárttá válik. Ha valaki nemcsak "megcáfolni'' akarta a feladatot, hanem megoldotta az általa félreértett feladatot (ez esetben jellemzése, mint látjuk, alig bonyolultabb, és a bizonyítás ugyanúgy megy), akkor csak 1 pontot vontunk le. De egy félreértett feladat megcáfolásáért nem járt pont. 2. Volt egy másikféle "cáfolat'' is: többen is "megsokszorozták'' egy zárt halmaz elemeit és pl. azt mondták, hogy a {0, 0, 0, 6, 6, 6} hat elemű halmaz nyilván zárt és nyilván nem alakú. Aki így érvelt, az a halmaz fogalmával sincs tisztában. Ugyanis a {0, 0, 0, 6, 6, 6} halmaznak csak két eleme van: a 0 és a 6. Egy halmaznak nincsenek "azonos, de különböző'' elemei. Három különböző alma, három különböző elem lehet egy halmazban; három különböző nulla is lehetne, ha ‐ volna. De nincs! Ezért tehettük fel a bizonyításban az elemű halmazról, hogy elemei szigorúan monoton nőnek. Valószínűnek tartom, hogy akik ezt a "cáfolati'' módot választották, a halmazt a számítógépes listákkal keverték össze. Egy lista tartalmazhat három nullát ‐ de éppen ezért nem hasonlít a halmazra. (Annál inkább az ún. rendezett halmazokra. Ajánljuk, nézzenek utána, mi a különbség halmaz és rendezett halmaz között.) 3. A bizonyításunk másképp is befejezhető. A 2. pontban elmondottak többet bizonyítanak: ha , és , akkor . (Ez -ra vonatkozó, -től lefelé lépő indukcióval ugyanúgy bizonyítható, mint a 2. pont állítása.) De mi van a esetekben? Ha , csak az állítás, ha , az állítás adódik, amelyek triviálisak. A esetben a triviális -n kívül az állítás is, ami viszont alapján következik. Így állításunk minden -re igaz, tehát (az 1. ponttal együtt) esetén minden és -re megkapjuk, hogy . Tehát számtani sorozat, azaz alakú. |