A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy bármely valós , számpárra és E két összefüggésből következik, hogy a feladat egyenlőtlensége minden valós , számpárra fennáll. Mivel és , ezért a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint | | ahonnan kettővel szorozva (1) adódik, A második egyenlőtlenség a számtani és négyzetes közép közti összefüggésből kapható meg: | | Szabó Tibor (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., III. o. t.) Megjegyzések. 1. A második egyenlőtlenségre több más bizonyítás is ismert. Így pl. , ahonnan . De bizonyítható geometriai úton is: tekintsünk egy egységnyi átfogójú derékszögű háromszöget, amelynek egyik szöge olyan hegyesszög, amelyre és . (Ilyen szög csak akkor nincs, ha valamely egészre, de akkor vagy .) Ebben a háromszögben a befogók összege éppen . Ismeretes, hogy adott átfogójú derékszögű háromszögben a befogók összege akkor maximális, ha a háromszög egyenlő szárú. Az egységnyi átfogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög befogóinak összege éppen . Így azt kapjuk, hogy | |
Megjegyezzük még, hogy az említett geometriai egyenlőtlenség könnyen bizonyítható a kerületi szögek tételének segítségével. 2. A feladat egyenlőtlenségében pontosan akkor áll egyenlőség, ha , , ahol és egészek. |
|