Kezdőlap


Feladat:	F.2728	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lancsa Hajnal , Podoski K. , Szabó Tibor
Füzet:	1989/november, 376 - 377. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenlőtlenségek, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/február: F.2728

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy bármely valós $x$ , $y$ számpárra

\begin{matrix} 2^{- cos^{2} x} + 2^{- sin^{2} x} ≧ \sqrt[]{2} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} \sqrt[]{2} ≦ sin y + cos y . \end{matrix}

(2)

E két összefüggésből következik, hogy a feladat egyenlőtlensége minden valós

x

y

számpárra fennáll.
Mivel

2^{- cos^{2} x} > 0

és

2^{- sin^{2} x} > 0

, ezért a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{2^{- cos^{2} x} + 2^{- sin^{2} x}}{2} ≧ \sqrt[]{2^{- cos^{2} x} \cdot 2^{- sin^{2} x}} = \sqrt[]{2^{- (cos^{2} + sin^{2} x)}} = \sqrt[]{2^{- 1}} = \sqrt[]{\frac{1}{2}}, \end{matrix}

ahonnan kettővel szorozva (1) adódik,
A második egyenlőtlenség a számtani és négyzetes közép közti összefüggésből kapható meg:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (sin y + cos y) ≦ \sqrt[]{\frac{sin^{2} y + cos^{2} y}{2}} = \sqrt[]{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

Szabó Tibor (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A második egyenlőtlenségre több más bizonyítás is ismert. Így pl.

{(sin y + cos y)}^{2} = 1 + 2 sin y cos y = 1 + sin 2 y ≦ 2

, ahonnan

| sin y + cos y | ≦ \sqrt[]{2}

. De bizonyítható geometriai úton is: tekintsünk egy egységnyi átfogójú derékszögű háromszöget, amelynek egyik szöge olyan

α

hegyesszög, amelyre

| sin y | = sin α

és

| cos y | = cos α

. (Ilyen

α

szög csak akkor nincs, ha

y = \frac{k π}{2}

valamely

k

egészre, de akkor

sin y + cos y = 1

vagy

- 1

.) Ebben a háromszögben a befogók összege éppen

sin α + cos α = | sin y | + | cos y |

. Ismeretes, hogy adott átfogójú derékszögű háromszögben a befogók összege akkor maximális, ha a háromszög egyenlő szárú. Az egységnyi átfogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög befogóinak összege éppen

\sqrt[]{2}

. Így azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin y + cos y ≦ | sin y | + | cos y | ≦ \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Megjegyezzük még, hogy az említett geometriai egyenlőtlenség könnyen bizonyítható a kerületi szögek tételének segítségével.

2. A feladat egyenlőtlenségében pontosan akkor áll egyenlőség, ha

y = \frac{π}{4} + 2 k π

x = \frac{π}{4} + \frac{l}{2} π

, ahol

k

és

l

egészek.