Feladat: F.2728 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lancsa Hajnal ,  Podoski K. ,  Szabó Tibor 
Füzet: 1989/november, 376 - 377. oldal  PDF file
Témakör(ök): Exponenciális egyenlőtlenségek, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/február: F.2728

Oldjuk meg a
2-cos2x+2-sin2xsiny+cosy
egyenlőtlenséget, ahol x, y valós számok.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy bármely valós x, y számpárra

2-cos2x+2-sin2x2(1)
és
2siny+cosy.(2)
E két összefüggésből következik, hogy a feladat egyenlőtlensége minden valós x, y számpárra fennáll.
Mivel 2-cos2x>0 és 2-sin2x>0, ezért a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint
2-cos2x+2-sin2x22-cos2x2-sin2x=2-(cos2+sin2x)=2-1=12,
ahonnan kettővel szorozva (1) adódik,
A második egyenlőtlenség a számtani és négyzetes közép közti összefüggésből kapható meg:
12(siny+cosy)sin2y+cos2y2=12.
 

Szabó Tibor (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A második egyenlőtlenségre több más bizonyítás is ismert. Így pl. (siny+cosy)2=1+2sinycosy=1+sin2y2, ahonnan |siny+cosy|2. De bizonyítható geometriai úton is: tekintsünk egy egységnyi átfogójú derékszögű háromszöget, amelynek egyik szöge olyan α hegyesszög, amelyre |siny|=sinα és |cosy|=cosα. (Ilyen α szög csak akkor nincs, ha y=kπ2 valamely k egészre, de akkor siny+cosy=1 vagy -1.) Ebben a háromszögben a befogók összege éppen sinα+cosα=|siny|+|cosy|. Ismeretes, hogy adott átfogójú derékszögű háromszögben a befogók összege akkor maximális, ha a háromszög egyenlő szárú. Az egységnyi átfogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög befogóinak összege éppen 2. Így azt kapjuk, hogy
siny+cosy|siny|+|cosy|2.

Megjegyezzük még, hogy az említett geometriai egyenlőtlenség könnyen bizonyítható a kerületi szögek tételének segítségével.
 

2. A feladat egyenlőtlenségében pontosan akkor áll egyenlőség, ha y=π4+2kπ, x=π4+l2π, ahol k és l egészek.