Kezdőlap


Feladat:	F.2726	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston Gy. , Antos A. , Balogh 171 J. , Benczúr P. , Benkő Dávid , Bíró N. , Bokor P. , Borsodi G. , Botrágyi T. , Csordás Z. M. , Elbert Judit , Erdész F. , Gutai Zs. , Kocsor A. , Kőrösi A. , Lancsa Hajnalka , Lois L. , Máté Nóra , Nagy 124 G. , Nagy G. P. , Papp 613 F. , Permeniczki I. , Peták A. , Podoski Károly. , Polczer I. , Pusztai T. , Radnai M. , Schultz J. , Siklér F. , Stoyan R. , Sustik M. , Szamuely T. , Szekeres B. , Szilágyi B. , Tóth 509 P. Z. , Tóth 702 P. , Tóth 713 G.
Füzet:	1989/október, 303 - 304. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Ellipszis egyenlete, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/január: F.2726

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két egyenlet a következő alakra hozható:

\begin{matrix} a^{2} + \frac{{(b - 4)}^{2}}{4} = 1, illetve & (1) \\ \frac{{(c - 4)}^{2}}{4} + d^{2} = 1. & (2) \end{matrix}

Az (1) egyenlet a

(0; 4)

középpontú és

1

egység, illetve

2

egység féltengelyekkel rendelkező ellipszis egyenletének tekinthető, míg (2) a

(4; 0)

középpontú és

2

egység, illetve

1

egység féltengelyekkel rendelkező ellipszis egyenlete. Ezért a feladat kérdése azt jelenti, hogy az

\begin{matrix} x^{2} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} = 1 és az & (3) \\ \frac{{(x - 4)}^{2}}{4} + y^{2} = 1. & (4) \end{matrix}

egyenletű ellipszisek

A (a; b)

illetve

B (c; d)

pontjai közötti minimális távolság négyzetét kell meghatározni, ahol

A

a (3),

B

pedig a (4) ellipszis egy pontja.

A két ellipszis szimmetrikus az

y = x

egyenletű egyenesre, ezért a pontjaik közötti minimális távolság a szimmetriatengellyel párhuzamos érintők közül a két közelebbinek a távolsága lesz. Ezek az érintők az ábra

e_{1}

, illetve

e_{2}

egyenesei, amelyeknek egyenlete

y = x - t

alakú. Ha az

y = x - t

egyenes érintő, akkor ebből az egyenletből és pl. a (4)-ből alkotott egyenletrendszernek pontosan egy megoldása lesz, tehát az

\begin{matrix} \frac{{(x - 4)}^{2}}{4} + {(x - t)}^{2} = 1 \end{matrix}

egyenlet diszkriminánsa zérus. Ez az egyenlet:

\begin{matrix} 5 x^{2} - 8 (t + 1) x + (4 t^{2} + 12) = 0, \end{matrix}

ennek diszkriminánsa nulla:

\begin{matrix} 64 {(t + 1)}^{2} - 4 \cdot 5 (4 t^{2} + 12) = 0, \\ t^{2} - 8 t + 11 = 0, \\ t = 4 \pm \sqrt[]{5} . \end{matrix}

A szimmetriatengelyhez közelebbi érintőhöz tartozó

t

érték nyilván

t = 4 - \sqrt[]{5}

.
Mivel a szimmetriatengely és az

e_{2}

érintő az abszcissza-tengellyel

45^{\circ}

-os szöget zár be, ezért e két egyenes távolsága

\begin{matrix} \frac{4 - \sqrt[]{5}}{\sqrt[]{2}}, (\approx 1, 247), így {(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2} minimuma: \\ {(\frac{2 (4 - \sqrt[]{5})}{\sqrt[]{2}})}^{2} = 42 - 16 \sqrt[]{5} = 2, 495^{2} . \end{matrix}

Benkő Dávid (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján